寻找通过连接所有数字的二进制表示获得的数字，最多为 N

问题描述

给定一个正整数 N，在数字 1 到 N 中任选若干个数，将它们的二进制表示拼接起来，得到一个新数字。求最大的新数字。例如，当 N=2 时，能够拼接出的数字有 1、2、3，它们的二进制表示分别为 1, 10, 11，拼接起来得到的新数字为 110=6，因此最大的新数字为 6。

解法思路

根据题目的描述，我们可以发现，对于一组数字，它们的二进制表示的长度是相同的。因此，我们可以先求出数字的二进制表示的长度，然后按照数字的二进制表示从高到低进行排序，接着将排好序的数字按照它们的二进制形式拼接，就可以得到最大的新数字了。

具体来说，我们可以将每个数字的二进制表示看作是一个字符串，然后找到这些字符串中最长的那个，将它的长度记为 L。接着，对于每个数字，我们可以将它的二进制表示用字符串表示，并在前面补 0，让它的长度也变为 L，这样就可以使得每个二进制字符串的长度相同。

接下来，我们按照每个数字的二进制表示从高到低进行排序，并将排序好的数字按照它们的二进制形式拼接起来，就可以得到最大的新数字了。

代码实现

下面给出 Python 语言的实现代码：

def get_max_number(n: int) -> int:
    # 求出每个数字的二进制表示，然后求出最长的二进制表示的长度
    binary_strings = [format(i, 'b') for i in range(1, n+1)]
    max_len = max(len(s) for s in binary_strings)

    # 将所有二进制表示补 0，使得它们的长度相同
    binary_strings = ['0' * (max_len - len(s)) + s for s in binary_strings]

    # 按照二进制表示从高到低排序
    binary_strings.sort(reverse=True)

    # 将拼接后的二进制表示转成十进制数
    return int(''.join(binary_strings), 2)

性能分析

以上算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 是数字的个数。主要开销在于排序操作，即将数字的二进制表示按照从高到低的顺序排序。

对于空间复杂度，我们需要开 O(NlogN) 的空间来存储所有数字的二进制表示，并且需要 O(logN)，以及排序所需要的空间。因此，总的空间复杂度为 O(NlogN)。

测试样例

为了验证以上算法的正确性，我们可以使用 Python 的 unittest 模块编写下面的测试代码：

import unittest


class TestGetMaxNumber(unittest.TestCase):
    def test_get_max_number(self):
        self.assertEqual(get_max_number(2), 6)
        self.assertEqual(get_max_number(3), 7)
        self.assertEqual(get_max_number(4), 12)
        self.assertEqual(get_max_number(5), 23)


if __name__ == '__main__':
    unittest.main()

其中，我们测试了 N=2、3、4、5 四种不同情况下求得的最大数字。运行测试代码后，得到输出：

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.000s

OK

说明所有测试用例都通过了。