检查二进制字符串是否可以通过删除不相邻的字符以降序排序

在本篇文章中，我们将讨论如何检查给定的二进制字符串是否可以通过删除不相邻的字符以降序排序。我们将为您提供一种基于动态规划的解决方案。

算法的背景知识

动态规划（DP）是一种优化方法，可用于在问题中避免重复计算。在推导出问题的递归关系后，可以使用 DP 将计算结果存储在表中，以便在需要时进行检索，使得相同的子问题只需计算一次。

另外，一些字符串操作也是算法的重要部分。例如，这篇文章中要达成的目标是删除字符串中不相邻的字符，这需要使用字符串操作。

解决方案

为了解决这个问题，我们将从最简单的子问题开始，即一个字符的字符串。很明显，只有一个字符的字符串就是降序排列。

接下来，我们将考虑两个字符的字符串。在这种情况下，我们只需删除第一个字符或第二个字符中的一个，即可使字符串降序排列。

现在，我们已经有了一个基础解决方案。接下来，我们将考虑更长的字符串。我们假设要检查的字符串是 $s$，字符串的长度为 $n$。

我们定义一个数组 $dp$， $dp[i][0/1]$ 表示前 $i$ 个字符，是否能通过删除不相邻字符得到降序字符串。其中， $dp[i][0]$ 表示字符串删除第 $i$ 个字符后降序排列，$dp[i][1]$ 表示字符串保留第 $i$ 个字符后降序排列。

根据这个定义，我们可以推导出 DP 状态转移方程：

$$ \begin{cases} dp[i][0] = max(dp[j][1] + 1),& s_j < s_i, 1 \le j < i \ dp[i][1] = max(dp[j][0]), & s_j < s_i, 1 \le j < i \end{cases} $$

其中，$dp[j][1] + 1$ 表示保留第 $i$ 个字符，并跳过不相邻字符，从第 $j$ 个字符转移到第 $i$ 个字符，而 $dp[j][0]$ 表示删除第 $i$ 个字符，从第 $j$ 个字符转移到第 $i$ 个字符。

最终答案是 $dp[n][0]$，即将整个字符串删除不相邻字符后是否能够降序排列。

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度是 $O(n)$。

下面是使用 Python 实现上面所述算法的代码片段：

def check_binary_string(s: str) -> bool:
    n = len(s)
    # 基础情况
    if n <= 1:
        return True
    # 动态规划求解
    dp = [[0, 0] for _ in range(n+1)]
    dp[1][0] = 1
    dp[1][1] = 0 if s[0] < s[1] else -1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i):
            if s[j-1] < s[i-1]:
                dp[i][0] = max(dp[i][0], dp[j][1] + 1)
            if s[j-1] > s[i-1]:
                dp[i][1] = max(dp[i][1], dp[j][0])
    return dp[n][0] >= n // 2

总结

本篇文章介绍了一种解决二进制字符串排序的算法，它基于动态规划。我们讨论了算法的背景知识和细节，并提供了 Python 代码实现以供参考。