前n个自然数的不同素数的数量

本文将介绍一个算法，用于统计前n个自然数中不同素数的数量。

算法的思路如下：

1. 初始化一个空的集合S，用于存储已经出现的素数。
2. 从2开始遍历前n个自然数，每次遍历的数为x。
3. 对于每个x，判断是否存在一个素数p，使得p刚好是x的因数。如果存在这样的p，则将x排除在素数的范围之外；否则，将x加入集合S中。
4. 遍历完前n个自然数后，集合S中元素的个数就是前n个自然数中不同素数的数量。

这个算法的正确性可以通过数学归纳法证明。

下面是这个算法的Python实现：

def count_primes(n):
    # 初始化集合S
    primes = set()
    # 遍历前n个自然数
    for x in range(2, n+1):
        # 判断是否存在一个素数p，使得p是x的因数
        is_prime = True
        for p in primes:
            if x % p == 0:
                is_prime = False
                break
        # 如果不存在这样的p，则将x加入集合S中
        if is_prime:
            primes.add(x)
    # 返回集合S中元素的个数
    return len(primes)

下面是这个算法的一些注意事项：

1. 这个算法的效率是O(n^2)，因为对于每一个x，都需要遍历一遍集合S。
2. 可以使用更快的算法来判断x是否为素数，例如试除法、Miller-Rabin素性检验等。
3. 可以使用更高效的数据结构来存储素数，例如位图、哈希表等。

这个算法可以用于统计任意范围内的不同素数的数量。如果需要统计超大范围内的素数数量，可以使用更为复杂的算法，例如Eratosthenes筛法、欧拉筛法等。