动态细分树：具有点更新的范围总和的在线查询

动态细分树（Dynamic Fenwick Tree）是一种可以动态调整的树状数组，比传统的树状数组灵活，可以支持点更新和范围总和的在线查询。本文将介绍动态细分树的实现细节和使用方法。

实现细节

动态细分树的实现原理类似于传统的树状数组，不同之处是动态细分树可以动态地增加节点，并支持点更新和范围总和的在线查询。动态细分树的核心思想是：在树状数组的基础上，通过节点分裂来实现动态调整。

具体实现如下：

1. 定义一个大小为 $n$ 的数组 $a$，表示初始时每个位置的值都为 $0$。
2. 将数组 $a$ 组织成一棵二叉树，我们可以用数组 $tr$ 来表示这棵树，其中 $tr[i]$ 表示节点 $i$ 的值。初始时，$tr[i]=0$。
3. 对于每个节点 $i$，我们将其左儿子设为 $2i$，右儿子设为 $2i+1$。注意，这里我们使用下标从 $1$ 开始的数组，因此数组的大小应该为 $2n$。
4. 当需要插入一个新元素时，我们可以选择在树的叶子节点处插入。假设当前树中已有 $m$ 个元素，则我们可以将新元素插入到 $2m+1$ 的位置（假设从左到右编号）。由于新元素只有一个，因此其他节点的值（除了 $2m+1$ 以外）都不需要改变。
5. 当需要修改某个位置上的元素时，我们可以通过节点分裂来实现。具体来说，假设我们要修改位置 $p$ 上的元素 $a_p$，树中对应的节点编号为 $i$。我们可以将节点 $i$ 分裂为两个节点 $2i$ 和 $2i+1$，分别代表位置 $p$ 和位置 $p+1$ 上的元素。然后，我们可以通过修改节点 $2i$ 的值来实现对位置 $p$ 上的元素的修改。
6. 当需要查询某个范围内元素总和时，我们可以以类似二分的方式遍历整个树，并计算每个节点的值的总和。具体来说，假设我们要查询 $[l,r]$ 区间内元素的总和，我们可以将区间 $[l,r]$ 拆分成若干个区间，每个区间对应一棵以节点 $1$ 为根的子树。我们可以遍历这些子树，将每个子树的值相加即可。

使用方法

动态细分树在解决有点更新和范围总和的在线查询问题时非常有用。具体使用方法如下：

class DynamicFenwickTree:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.tr = [0] * (2 * n)
        for i in range(1, n + 1):
            j = i + self.lowbit(i)
            if j <= n:
                self.tr[j] += self.tr[i]
        for i in range(1, n + 1):
            j = i + self.lowbit(i)
            if j <= n:
                self.tr[j] += self.tr[i]

    def lowbit(self, x):
        return x & -x

    def update(self, x, k):
        while x <= self.n:
            self.tr[x] += k
            x += self.lowbit(x)

    def query(self, x):
        res = 0
        while x > 0:
            res += self.tr[x]
            x -= self.lowbit(x)
        return res

上述代码实现了动态细分树的基本操作，包括初始化、插入、修改和查询。其中，n 表示初始时数组的大小，tr 表示树状数组，lowbit 函数用于求某个位置对应的节点编号，update 函数用于修改节点的值，query 函数用于查询范围内元素总和。

总结

动态细分树是一种非常有用的数据结构，可以支持点更新和范围总和的在线查询。本文介绍了动态细分树的实现细节和使用方法。在实际开发中，我们可以利用动态细分树解决一些复杂的数据结构问题。