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📅  最后修改于: 2023-12-03 15:40:04.192000             🧑  作者: Mango

数组范围查询以查找具有更新的完美正方形元素的数量

本篇介绍如何通过数组范围查询来查找具有更新的完美正方形元素的数量。所谓完美正方形，指的是所有四个角均为1，其余所有元素均为0的方形。在一个数组中，如果一个完美正方形中的任意元素被更新，我们称其为“具有更新的完美正方形”。

数据结构

我们使用二维数组来表示矩阵，其中每个元素的值为0或1。我们还需要记录每个元素被更新的时间戳，用以判断是否在完美正方形内。

matrix = [[0,0,0,0],
          [0,1,1,0],
          [0,1,1,0],
          [0,0,0,0]]

timestamp = [[0,0,0,0],
             [0,1,2,0],
             [0,3,4,0],
             [0,0,0,0]]
算法

我们可以采用DP的策略来解决该问题。具体地，对于每个位置，我们记录以该位置为右下角的完美正方形的最大宽度。如果该位置为1，则最大宽度为左上方的最大宽度加1（因为对于完美正方形，“所有四个角均为1”）。我们同时记录以该位置为右下角的完美正方形的时间戳，用以判断是否被更新。

具体地，我们用 dp[i][j] 记录以 (i,j) 为右下角的完美正方形的最大宽度，用 ts[i][j] 记录其时间戳。dp 和 ts 各初始化为全零矩阵。我们扫描一遍 matrix，对于每个位置 (i,j)，更新 dp[i][j] 和 ts[i][j]。更新时，若 matrix[i][j] 为0，则 dp[i][j] = ts[i][j] = 0；否则，我们找到左上方的完美正方形的最大宽度 dp[i-1][j-1]，更新 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 并 ts[i][j] = max(dp[i][j], ts[i-1][j-1])。最后，我们统计所有 ts[i][j] > 0 的 (i,j)，即为具有更新的完美正方形的数量。

下面是Python实现的代码片段：

n, m = len(matrix), len(matrix[0])
dp = [[0] * m for _ in range(n)]
ts = [[0] * m for _ in range(n)]
count = 0

for i in range(n):
    for j in range(m):
        if matrix[i][j] == 0:
            dp[i][j] = ts[i][j] = 0
        else:
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = ts[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                ts[i][j] = max(dp[i][j], ts[i-1][j-1])
        if ts[i][j] > 0:
            count += 1

print(count) # 输出具有更新的完美正方形的数量
时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(nm)$，其中$n$和$m$分别为矩阵的行数和列数。因为我们只需要扫描一次矩阵，并使用常数个变量来记录中间结果，所以空间复杂度为$O(nm)$。

参考文献