检查数字 N 是否可以以 B 为基数表示

在计算机科学中，我们经常需要将数字以不同的进制表示，如二进制、八进制、十六进制等。那么如何判断一个数字能否以给定的进制表示呢？

下面介绍两种常见的解法。

解法一：除法求商法

这种方法比较直观，我们通过不断地除以进制来判断是否符合条件。具体步骤如下：

1. 将 N 不断除以 B，直到商为 0 为止。
2. 如果在此过程中有任何一个余数不在 B 的范围内，则说明 N 不能以 B 为基数表示。
3. 如果所有余数都在 B 的范围内，则说明 N 可以以 B 为基数表示。

代码如下（Python 实现）：

def can_be_represented_by_base(n: int, b: int) -> bool:
    while n > 0:
        if n % b >= 10:
            return False
        n //= b
    return True

这种方法的时间复杂度为 $O(\log_bn)$，与 N 和 B 有关。

解法二：位运算法

这种方法利用了位运算的特性，可以避免反复进行除法运算。具体步骤如下：

1. 不断对 N 进行按位与运算（&）和右移运算（>>），直到 N 为 0 为止。
2. 如果任何一步中按位与的结果大于 B，则说明 N 不能以 B 为基数表示。
3. 如果所有步骤中按位与的结果都小于等于 B，则说明 N 可以以 B 为基数表示。

代码如下（C++ 实现）：

bool can_be_represented_by_base(int n, int b) {
    while (n > 0) {
        if (n & (b - 1) >= 10) {
            return false;
        }
        n >>= 1;  // 右移一位相当于除以 2，右移 k 位相当于除以 2^k
    }
    return true;
}

这种方法的时间复杂度为 $O(\log_2n)$，与 N 相关。

总结

以上两种方法都可以用来判断一个数字是否可以以给定的进制表示。如果要判断多个数字，则可以将这些数字依次传入上面的函数进行判断即可。

值得注意的是，对于无符号整数（如 uint32_t）而言，位运算法比较适用；而对于有符号整数（如 int32_t）而言，除法求商法比较保险，因为右移操作可能会引起符号位的变化。

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