检查数字是否可以表示为两个平方的差

有时候我们需要判断一个数字是否可以表示为两个平方数的差，这在某些数学问题中是非常有用的。下面介绍两种方法来解决这个问题。

方法一：暴力枚举

我们可以枚举每一对平方数，并检查它们的差是否等于目标数字。具体实现如下：

def is_sum_of_squares(num):
    for i in range(int(num ** 0.5) + 1):
        for j in range(int(num ** 0.5) + 1):
            if i*i - j*j == num:
                return True
    return False

这个算法的时间复杂度为 O(sqrt(n)^2)，即 O(n)，其中 n 是目标数字。虽然它比较简单，但在 处理大数时会非常缓慢。

方法二：费马平方和定理

费马平方和定理（Fermat's theorem on sums of two squares）告诉我们，一个非负整数可以表示成两个平方数的和，当且仅当它的质因子中每个 4k+3 形式的质因子的指数都是偶数。这个定理也给出了一种快速的方法来检查数字是否可以表示成两个平方数的和。具体实现如下：

def is_sum_of_squares(num):
    while num % 4 == 0:
        num //= 4
    for i in range(3, int(num ** 0.5) + 1, 2):
        count = 0
        while num % i == 0:
            num //= i
            count += 1
        if count % 2 == 1 and i % 4 == 3:
            return False
    return num % 4 != 3

这个算法的时间复杂度为 O(sqrt(n))，其中 n 是目标数字。这个算法强于暴力枚举算法，尤其在处理大数时表现突出。

使用这两种方法之一，我们可以判断一个数字是否可以表示为两个平方数的差。