查找给定 Array 的每个子序列的所有可能的 GCD

简介

本篇文档主要介绍如何查找给定数组中每个子序列的所有可能的最大公约数(GCD)。

最大公约数是指能够同时整除所有给定数的最大正整数。例如，4和6的最大公约数是2，因为2是4和6的公约数，而且2是所有公约数中最大的一个。

在实际编程中，查找一个数组的所有子序列的 GCD 是一道比较基础的算法题目，它能够帮助程序员加深对于递归、枚举和数学方法的理解。

解决方法

方法一：暴力枚举

暴力枚举法是最朴素的解决问题的方法。其基本思想是对所有情况进行枚举，然后依次计算每个子序列的 GCD。

具体实现方法是：遍历数组中所有子序列，然后在每个子序列中计算所有数字的 GCD，最终得到所有子序列的 GCD。

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def all_gcd(arr):
    n = len(arr)
    res = []
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            curr = arr[i:j]
            if len(curr) == 1:
                res.append(curr[0])
            else:
                g = curr[0]
                for k in range(1, len(curr)):
                    g = gcd(g, curr[k])
                res.append(g)
    return set(res)

该算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，因为需要枚举所有子序列，然后在每个子序列中计算 GCD。当数组长度较大时，该方法耗时较长，需要使用更高效的方法。

方法二：递归求解

递归法是一种常用的算法设计方法，其基本思想是将一个大的问题分解为多个小的问题，然后依次解决小问题，最终得到大问题的解。

对于本问题，可以使用递归法，将原问题分解为两个子问题，然后逐步解决。

具体实现方法是：首先找到数组中最小的数字，然后将数组中所有数字都除以其最大公约数，然后递归地处理得到原数组的所有子序列的 GCD。

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

def min_num(arr):
    return min(arr)

def divide(arr, num):
    if num == 1:
        return arr
    return divide([x // num for x in arr], min_num([x // num for x in arr]))

def all_gcd(arr):
    n = len(arr)
    res = []
    for i in range(n):
        res.append(divide(arr[i:], min_num(arr[i:])))
    return set([item for sublist in res for item in sublist])

该算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，因为需要递归 $\log n$ 层，每层计算 GCD 的时间复杂度为 $O(n)$。

总结

查找给定数组中每个子序列的所有可能的 GCD 是一道比较基础的算法题目，它能够帮助程序员加深对于递归、枚举和数学方法的理解。

在实际编程中，我们可以使用暴力枚举法或递归法来解决该问题，但是递归法的时间复杂度相对更低，是更推荐的实现方法。