计数所有可能的 N 长度平衡二进制字符串

平衡二进制字符串是指具有相等数量的 0 和 1 的二进制字符串。

这个问题的本质是要计算由 N 个比特位组成的所有平衡二进制字符串的数量。

我们可以用动态规划的技巧来计算这个问题。

定义：

• dp[i][0] 表示使用前 i 个比特位，有多少个平衡二进制字符串以 0 结尾。
• dp[i][1] 表示使用前 i 个比特位，有多少个平衡二进制字符串以 1 结尾。

推导状态转移方程：

如果当前位是 0，那么它只能是上一位是 1 才能平衡。因此，新的以 0 结尾的平衡字符串的数量是过去以 1 结尾的平衡字符串的数量：

dp[i][0] = dp[i-1][1]

如果当前位是 1，那么它只能是上一位是 0 才能平衡。因此，新的以 1 结尾的平衡字符串的数量是过去以 0 结尾的平衡字符串的数量：

dp[i][1] = dp[i-1][0]

最后一步，将两个状态相加即可计算所有平衡二进制字符串的数量：

count = dp[N][0] + dp[N][1]

完整代码如下：

def count_balanced_binary_strings(N: int) -> int:
    # 初始化动态规划数组
    dp = [[0, 0] for i in range(N+1)]
    dp[0] = [1, 1]

    # 计算状态转移方程
    for i in range(1, N+1):
        dp[i][0] = dp[i-1][1]
        dp[i][1] = dp[i-1][0]

    # 计算所有平衡二进制字符串的数量
    count = dp[N][0] + dp[N][1]
    
    return count

这段代码接受一个整数参数 N，并返回由 N 个比特位组成的所有平衡二进制字符串的数量。

使用示例：

count = count_balanced_binary_strings(3)
print(count)  # 2

此时，由 3 个比特位组成的所有平衡二进制字符串为：001、010、100、011、101、110。其中有 2 个符合平衡二进制字符串的定义。

通过动态规划算法，我们可以在 O(N) 的时间复杂度内解决这个问题。