DAA-0-1背包详解

概述

0-1背包问题是动态规划问题中比较经典的实例之一，其基本思想是动态规划的思想，将大问题分解为小问题进行求解。本文将介绍0-1背包问题的定义、求解方法以及具体实现。

问题定义

0-1背包问题就是在一个固定容量的背包中，装入不同体积、不同价值的物品。要求在限定的总体积内，装入物品的总价值最大。

例如，有一个背包，容量为10，有以下物品：

| 物品 | 重量 | 价值 | | :---: | :--: | :--: | | A | 5 | 10 | | B | 7 | 15 | | C | 2 | 4 | | D | 3 | 6 |

通过动态规划求解，可以得到方案为选择物品A、B和C，总重量为9，总价值为19。

求解方法

状态转移方程

设有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积为w[i]，价值为v[i]，使用f[i][j]表示前i件物品恰好占用j体积的最大价值。

求f[i][j]时有以下两种情况：

• 不放第i件物品，此时f[i][j] = f[i-1][j];
• 放第i件物品，此时f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]。

那么f[i][j]最大值就是以上两种情况中取较大的值，得到状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])

初始化

状态转移方程涉及到的$f[0][j]$都等于0，表示什么都不放时的最大价值。

边界条件

当"剩余容量"为0时，所得最大价值为0；当"剩余物品"为0时，所得最大价值为0。

最终结果

最终结果为$f[N][V]$，即装满背包所得的最大价值。

代码实现

接下来给出Python实现代码。

def knapsack(N, V, w, v):
    # 初始化
    f = [[0 for j in range(V+1)] for i in range(N+1)]

    # 计算f[i][j]
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(1, V+1):
            if j < w[i]:
                f[i][j] = f[i-1][j]
            else:
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])

    return f[N][V]

总结

通过本文，介绍了0-1背包问题的定义、求解方法以及代码实现。0-1背包问题是动态规划问题中的经典实例，也是一些其他问题的基础，对于了解动态规划程序员来说，具有重要意义。