在本教程中，我们前面已经讨论了使用贪婪方法的分数阶背包问题。我们已经表明，贪婪方法为小背包带来了最佳解决方案。但是，本章将介绍0-1背包问题及其分析。

在0-1背包中，物品不能被破坏，这意味着小偷应该将物品作为一个整体或应该离开它。这就是将其称为0-1背包的原因。

因此，在0-1背包的情况下， x _i的值可以为0或1 ，而其他约束保持不变。

0-1背包无法通过贪婪方法解决。贪婪的方法不能确保最佳解决方案。在许多情况下，贪婪方法可能会提供最佳解决方案。

以下示例将建立我们的声明。

示例1

让我们考虑背包的容量为W = 25，并且各项如下表所示。

在不考虑每单位重量的利润(P _I / W _I)，如果我们应用贪婪的方法来解决这个问题，第一项A会被选为这将有助于所有元素中最高_我妈妈的利润。

选择项目A后，将不再选择其他项目。因此，对于该给定的一组项目，总利润为24 。而通过选择项目B和C可以获得最佳解决方案，其中总利润为18 + 18 = 36。

示例2

在此示例中，不是基于总体利益来选择项目，而是基于比率p _i / _wi来选择项目。让我们考虑背包的容量为W = 60，并且各项如下表所示。

使用贪婪方法，选择第一项A。然后，选择下一个项目B。因此，总利润为100 + 280 = 380 。但是，可以通过选择总利润为280 + 120 = 400的项目B和C来实现此实例的最佳解决方案。

因此，可以得出结论，贪婪方法可能无法提供最佳解决方案。

为了解决0-1背包问题，需要动态编程方法。

问题陈述

一个小偷被抢劫一家商店，可携带W的最大_I发作重量为他的背包。有n个项目，^第i^个项目的权重是w _i ，选择该项目的利润是p _i 。小偷应该带些什么?

动态编程方法

令我成为W美元的最优解S中编号最高的项目。那么S ^‘ = S-{i}是W-w _i美元的最优解，解S的值为V _i加上子问题的值。

我们可以用以下公式表达这一事实：将c [i，w]定义为项目1,2，…，i和最大_i权重w的解。

该算法采用以下输入

• 马克斯_我妈妈权重W

• 项目数n

• 两个序列v = 1 ，v ₂ ，…，v _n >和w = 1 ，w ₂ ，…，w _n >

Dynamic-0-1-knapsack (v, w, n, W) 
for w = 0 to W do 
   c[0, w] = 0 
for i = 1 to n do 
   c[i, 0] = 0 
   for w = 1 to W do 
      if wi ≤ w then 
         if vi + c[i-1, w-wi] then 
            c[i, w] = vi + c[i-1, w-wi] 
         else c[i, w] = c[i-1, w] 
      else 
         c[i, w] = c[i-1, w] 

可以从表中推导出要采取的项目集，从c [n，w]开始并向后追溯最佳值的来源。

如果c [i，w] = c [i-1，w] ，则项目i不属于解决方案，我们将继续使用c [i-1，w]进行跟踪。否则，项目i是解决方案的一部分，我们将继续使用c [i-1，wW]进行跟踪。

分析

该算法需要θ( n ， w )次，因为表c具有( n + 1)。( w + 1)个条目，其中每个条目需要θ(1)时间来计算。