最大炸弹爆炸次数

在小偷被抓住之前可能发生的最大炸弹爆炸次数是一个经典的动态规划问题。题目描述如下：

有 $n$ 个建筑物排成一行，第 $i$ 个建筑物的高度为 $h_i$，并且在第 $i$ 个建筑物上最多可以放置一个炸弹。如果在第 $i$ 个建筑物上放置了炸弹，则可以摧毁它的高度不超过 $h_i$ 的所有建筑物。现在有一个小偷要从第 $1$ 个建筑物出发到达第 $n$ 个建筑物并盗取财宝。他不想被抓，于是决定在路上放置一些炸弹来摧毁追捕他的警察。请你计算在小偷被抓住之前，他最多可以引爆多少次炸弹。

思路分析

本题可以使用动态规划来求解，设 $dp_i$ 表示小偷走到第 $i$ 个建筑物时，在小偷被抓住之前最多可以引爆多少次炸弹。因为小偷必须从第 $1$ 个建筑物开始走，所以答案为 $dp_n$。那么我们可以考虑如何推导 $dp_i$。

当小偷走到第 $i$ 个建筑物时，他可以选择放置一个炸弹或者不放。如果他不放置炸弹，那么 $dp_i=dp_{i-1}$；如果他放置了炸弹，那么 $dp_i$ 的值就要加 $1$，并且需要找到一个最远的位置 $j$，满足 $1\le j<i$ 且 $h_j\ge h_i$，表示在位置 $j$ 放置炸弹可以摧毁位置 $i$ 左侧的所有建筑物。因为要让小偷引爆的炸弹数量尽可能地多，所以 $j$ 的取值应该是所有满足条件的 $j$ 中使得 $dp_j$ 最大的那个。

由于我们需要求解 $dp_i$，并且计算 $dp_i$ 需要使用到所有 $dp_j$（$1\le j<i$），因此我们可以采用自底向上的方式来计算 $dp$ 数组。最终答案即为 $dp_n$。

程序代码如下：

def max_bomb_counts(n: int, h: List[int]) -> int:
    # 初始化 dp 数组，dp[0]=0
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        # 先不放置炸弹，计算 dp[i]
        dp[i] = dp[i - 1]
        # 尝试在位置 j 放置炸弹，更新 dp[i]
        for j in range(1, i):
            if h[j - 1] >= h[i - 1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return dp[n]

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 表示建筑物的数量。因为要求解 $dp$ 数组，所以需要枚举每个位置 $i$ 和它前面的所有位置 $j$，时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度：$O(n)$，因为只需要一个一维数组来存储 $dp$ 数组。