满足给定条件的给定数组中对的绝对差之和

介绍

在程序开发中，经常有需要在一个数组中找出满足某些条件的元素对的绝对差之和的需求。这种需求可以通过遍历数组中的所有元素对，并计算它们的绝对差来实现，但时间复杂度较高，对于较大的数据量会很慢。因此需要更高效的算法来解决这个问题。

解决方案

我们可以应用一些巧妙的算法来解决这个问题。以下是一些常见的方法：

方法一：计算中位数

假设给定的数组为 A，我们可以首先对 A 进行排序，然后计算所有相邻元素间的绝对差。这种方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$（排序的复杂度），不符合本题要求的 $O(n)$ 时间复杂度。

那么如何实现 $O(n)$ 时间复杂度呢？我们可以考虑利用中位数的性质。假设我们已经找到了 A 的中位数 M，那么对于所有 $a_i \le M$ 的元素 $a_j$，它们跟 $a_i$ 的绝对差为 $a_i - a_j$。而对于所有 $a_i > M$ 的元素 $a_k$，它们跟 $a_i$ 的绝对差为 $a_k - a_i$。

因此，我们可以分别找到 A 中所有小于等于 M 的元素和所有大于 M 的元素，并分别求它们的中位数 M1 和 M2。然后就可以计算出所有满足条件的组合，它们的绝对差之和为：

$$(M_1 - M) * cnt_L + (M - M_2) * cnt_R$$

其中 cnt_L 和 cnt_R 分别是小于等于 M 和大于 M 的元素数量。

假设我们使用快排的方法来找到 A 的中位数 M，算法的时间复杂度为 $O(n)$。

方法二：双指针法

我们也可以使用双指针法来解决这个问题。依然假设给定的数组为 A，我们可以首先将其排序。然后定义两个指针 i 和 j，分别指向 A 的两端。

然后我们不断移动指针 i，找到第一个满足 $A[i] \ge A[j] - k$ 的元素 $A[j]$，则从 $A[i]$ 到 $A[j]$ 的元素对的绝对差都满足要求。此时绝对差之和为：

$$sum = \sum_{t=i}^{j-1} (A[j] - A[t])$$

接着我们再移动指针 j，继续寻找下一个满足条件的元素对。直到 $i$ 和 $j$ 相遇为止，此时 $sum$ 就是我们要求的答案。

我们可以发现，这种方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$（排序的复杂度）。在某些情况下，该方法的速度可能会比上面的中位数方法更快。

代码实现

以下是使用中位数方法的 Python 代码：

def abs_diff_sum(a, k):
    n = len(a)
    a.sort()
    m = a[n // 2]
    l = [i for i in a if i <= m]
    r = [i for i in a if i > m]
    cnt_l, cnt_r = len(l), len(r)
    m1, m2 = l[cnt_l // 2], r[cnt_r // 2]
    return (m1 - m) * cnt_l + (m2 - m) * cnt_r

以下是使用双指针法的 Python 代码：

def abs_diff_sum(a, k):
    n = len(a)
    a.sort()
    i, j = 0, n - 1
    ans = 0
    while i < j:
        while a[i] < a[j] - k:
            i += 1
        ans += (j - i) * (a[j] - k - a[i])
        j -= 1
    return ans

总结

本文介绍了两种方法来计算给定数组中对的绝对差之和，分别是中位数方法和双指针法。两种方法都有其优点和局限性，具体选择哪一种方法要根据实际情况来决定。