最小化数组中的插入以获得最大为 N 的所有和

问题描述

给定一个有序的整数数组和一个目标整数 N，我们需要将最小数量的元素插入到数组中，使得数组的所有元素的和大于或等于 N。

解决方案

算法

我们可以使用贪心算法来解决这个问题。具体地，我们可以在数组中找到第一个大于或等于 N 的数，然后将其余部分中的数全部删除，并计算删除了多少个数。然后我们可以用 N 减去数组中剩余数字的总和，并将这个差作为一个新的目标数。接着，我们可以递归地解决这个新的问题。

代码实现

def min_insertions(nums: List[int], N: int) -> int:
    if not nums or nums[-1] >= N:
        return 0
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= N:
            right = mid - 1
        else:
            left = mid + 1
    count = len(nums) - right - 1
    return count + min_insertions(nums[:right + 1], 2 * N - sum(nums[:right + 1]))

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 n 是数组中的元素个数。我们需要进行 $\log n$ 次递归，每次需要计算长度为 $n$ 的数组的总和。由于一旦计算数组总和，我们将不再需要计算它，因此，总时间复杂度为 $O(n \log n)$。
• 空间复杂度：$O(\log n)$。当数组长度最大时，递归栈的深度为 $\log n$，因此，空间复杂度为 $O(\log n)$。