布雷森汉姆的圆图绘制算法

布雷森汉姆的圆图绘制算法（Bresenham's circle algorithm），又被称为 mid-point 圆算法，是一种用于绘制圆的算法。该算法的优势在于，它只使用了整数运算，避免了浮点数的复杂性。

算法原理

布雷森汉姆的圆图绘制算法采用了一种叫做对称性的技巧。

考虑一个半径为 r 的圆。我们选择一个初始点 (0, r) 作为圆上的一个点，然后想象在第二象限中，以该点为中心，r 为半径的圆弧可以被分成 45 度的八个扇形。每个扇形的起点是 (0, r)，其他点都可以通过镜像、旋转和交换坐标轴获得(详见下面图片)。

我们假设初始点的坐标为 (x, y)，并考虑如何在第一象限中绘制一个圆。我们可以通过找到下一个最接近圆的像素点 (x', y') 来绘制相对角度为 45 度的八个扇形的像素。我们需要遵循以下规则：

1. 根据对称性，在出现在其他象限的相同角度时，坐标值可以被镜像、旋转和交换坐标轴来计算。

2. 在每个扇形中，下一个点必须为下列中的一个：

   • (x + 1, y + 0)： 当前像素没有到达圆的边界，但通过 x 坐标增加的宽度可以到达下一个像素。

   • (x + 1, y - 1)： 当前像素位于圆的下部，但通过同时增加 y 坐标和 x 坐标的宽度可以到达下一个像素。

   • (x + 0, y - 1)： 当前像素没有到达圆的边界，但通过 y 坐标增加的宽度可以到达下一个像素。

   • (x - 1, y - 1)： 当前像素位于圆的上部，但同时减少 y 坐标和 x 坐标的宽度可以到达下一个像素。

3. 在更新像素点后，我们需要重新计算当前像素和圆心的距离，并根据这个距离确定下一个像素的位置和半径的变化。

算法示例

下面是一个使用布雷森汉姆的圆图绘制算法来绘制一个圆的示例代码片段：

void draw_circle(int r, int xc, int yc) {
    int x = 0, y = r; 
    int d = 3 - 2 * r;
    while (x <= y) {
        draw_pixel(xc + x, yc + y);
        draw_pixel(xc + x, yc - y);
        draw_pixel(xc - x, yc + y);
        draw_pixel(xc - x, yc - y);
        draw_pixel(xc + y, yc + x);
        draw_pixel(xc + y, yc - x);
        draw_pixel(xc - y, yc + x);
        draw_pixel(xc - y, yc - x);
        if (d < 0) {
            d = d + 4 * x + 6;
        } else {
            d = d + 4 * (x - y) + 10;
            y--;
        }
        x++;
    }
}

结论

布雷森汉姆的圆图绘制算法是一种比较简单的算法，它提供了一种绘制圆的基本方法。除此之外，它还可以用于更复杂的算法中，例如画线算法的改进版本。由于其简单性和高效性，该算法在计算机图形学领域得到了广泛的应用。