最大化位于给定范围内的长度子序列的平均值之和

背景

在很多实际问题中，需要找到一个序列中的一个子序列，使得该子序列长度在给定范围内，且平均值之和最大。例如，在比赛中，需要选取一些运动员参加某个项目，要求每个队员的能力值在一定范围内，且整个队伍的平均能力值最高。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，和两个整数 $l, r$，找到一个长度在范围 $[l, r]$ 内的子序列 $a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}$，使得 $\frac{1}{k}\sum_{j=1}^k a_{i_j}$ 的值最大。

解决方案

该问题可以通过动态规划来解决，我们定义状态 $f_{i,j}$ 表示以 $a_i$ 结尾的长度为 $j$ 的子序列的平均值最大值。

显然，当 $j=1$ 时，$f_{i,j}=a_i$。当 $j>1$ 时，我们可以考虑枚举 $a_{i-1}$ 结尾的长度为 $j-1$ 的子序列的起始位置 $p$，则有：

$$ f_{i,j}=\max_{p=i-j+1}^i {f_{p,j-1} + \frac{1}{j}(a_{p+1}+a_{p+2}+\cdots+a_i)} $$

其中，$p\geq j-1$。

最终的答案即为 $f_{i,j}$ 的最大值。

下面是该问题的代码实现（使用 Python 3）：

def max_avg_sum(a, l, r):
    n = len(a)
    # 初始化状态数组
    f = [[float('-inf')]*(r+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        f[i][1] = a[i-1]
    # 状态转移
    for j in range(2, r+1):
        for i in range(j-1, n):
            for p in range(i-j+1, i):
                f[i+1][j] = max(f[i+1][j], f[p][j-1] + sum(a[p+1:i+1])/j)
    # 找到最大值
    res = float('-inf')
    for j in range(l, r+1):
        for i in range(j-1, n):
            res = max(res, f[i+1][j])
    return res

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(n^3r)$，空间复杂度为 $O(nr)$。在实际问题中，$l$ 和 $r$ 的范围通常比较小，因此该算法能够在较短时间内求解。

总结

本文介绍了一个实际问题，并给出了相应的动态规划解法。该算法的思想可以应用到其他问题中，例如最大化长度为 $k$ 的不下降子序列的平均值之和等。在实际问题中，我们应该从多个角度考虑问题，并利用已有的数学工具，寻找合适的数学模型，并加以求解。