计算机组织 |阿姆达尔定律及其证明

什么是阿姆达尔定律？

阿姆达尔定律提供了关于并行计算的一个基本法则。它指出了当我们在一个已经存在的程序中引入潜在的并行化时，我们可以计算出并行操作对程序的整体运行时间的影响。具体地说，阿姆达尔定律就是描述如何通过提高一个程序中并行化的程度来加速该程序的运行的统计学法则。

阿姆达尔定律的公式

阿姆达尔定律可以表示如下：

S(n) = 1 / (F + (1 - F) / n)

其中：

• S(n) 表示并行化程度为 n 时的程序加速比
• F 表示程序中无法并行化的部分占总运行时间的比例（即不可优化比例）
• (1 - F) 表示程序中可以并行化的部分占总运行时间的比例（即可优化比例）

阿姆达尔定律的证明

阿姆达尔定律可以从串行程序的性能模型出发推导出来，这个模型也称为 Amdahl's Law Speedup Model。

假设有一个并行计算系统，它可以让计算任务被分成 n 个可同时执行的部分，那么每个部分的执行时间就是原先串行执行的 1/n。同时，我们假设程序的串行部分为 F，而且它的执行时间是原来程序总执行时间的 F。

因此，整个程序的执行时间可以表示为：

T(n) = F * T(1) + (1 - F) * T(1) / n

其中 T(1) 表示串行执行程序的时间，即 n=1 时的执行时间。第二个部分代表并行执行程序的时间，除以 n 以考虑到并行化的影响。

考虑到加速比 S(n) = T(1) / T(n)，我们可以将上式拆开:

S(n) = T(1) / (F * T(1) + (1 - F) * T(1) / n)

S(n) = 1 / (F + (1 - F) / n)

至此，我们得到了阿姆达尔定律的数学模型。

总结

阿姆达尔定律告诉我们，并行化对程序性能的提升是有上限的，这个上限就是串行化部分比例。如果某个部分完全串行化，那么它无论如何都无法被进一步提升。因此，阿姆达尔定律对于并行编程来说至关重要，它帮助我们了解程序并调整设计以获取最佳性能。