门|门CS 2008 |问题 26

该问题出现在 2008 年的门|门计算机科学省选题目中，是一道比较有趣的计算机科学问题。问题描述如下：

在一个长方形的房间中，有一扇门和一台计算机。计算机被放置在房间的某个点上，门则被放置在房间的一个边上。计算机可以移动，但只能沿着直线进行移动，而移动的路径上不能有障碍物。障碍物包括边界和门。现在的问题是：计算机在不通过门的情况下，如何从其当前的位置到达房间内任何一个点。

这道问题实际上就是求一个算法，它能够生成一条路径，使得路径从计算机的当前位置开始，沿着直线前进，一直到达房间内的任意一个点。

解决方法

一个简单的思路是：计算机可以在房间内穿过墙壁，从而到达房间的另一侧。然后再沿着直线回到目的地。

这看上去是一个可行的方案，但实际上有很多的问题。例如：

• 如果计算机的位置恰好靠近门，那么计算机可能会走出门外。
• 如果计算机的路径与门的路径交叉，那么计算机可能会走到门外。

因此，我们需要一个更加精确的解决方法。该问题可以使用数学定理来解决。

数学定理

该问题可以用到两个数学定理：射线法和 Pick 定理。

首先，我们来介绍一下射线法。假设有一个点 $p$，以及另外一个点 $q$。我们希望判断 $q$ 在点 $p$ 的左边还是右边。我们可以通过以下的方法来进行计算：

1. 计算 $p$ 到 $q$ 的向量 $\vec{PQ}$。
2. 计算 $p$ 到横坐标（x 轴）正方向的射线的向量 $\vec{PX}$。
3. 计算 $\vec{PQ}$ 和 $\vec{PX}$ 的夹角 $\theta$。
4. 如果 $\theta\in(0,180^\circ)$，则 $q$ 在 $p$ 的左边。如果 $\theta\in(180^\circ,360^\circ)$，则 $q$ 在 $p$ 的右边。

接下来，我们介绍一下 Pick 定理。设 $A$ 是平面上面积为 $S$ 的一个多边形，$I$ 表示 $A$ 中整点的个数，$B$ 表示 $A$ 边界上整点的个数，则 Pick 定理给出了以下的公式：

$$ S = I + \frac{B}{2} - 1 $$

算法实现

通过上面的定理，我们可以设计出以下算法：

1. 让计算机向门的方向移动。如果计算机不能到达门所在的边界，就发现一个点，在该点和门之间画一条直线。
2. 计算该直线与房间边界的交点，并将所有交点放入一个集合中。
3. 对于每个点 $p$，检查它是否在集合中。如果 $p$ 不在集合中，那么它可以通过直线到达门。否则，需要绕过该点才能到达门。

我们可以通过射线法计算每个点是否在集合中。通过 Pick 定理，我们可以计算出房间的面积和边界上整点的个数。然后，我们就可以使用上面的算法来得到结果。

代码示例

def point_on_left(x1, y1, x2, y2, px, py):
    """
    计算点 (px, py) 是否在点 (x1, y1) 和点 (x2, y2) 的左边
    """
    dx1 = px - x1
    dy1 = py - y1
    dx2 = x2 - x1
    dy2 = y2 - y1
    r = dx1 * dy2 - dx2 * dy1
    return r > 0

def compute_intersection(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4):
    """
    计算两条线段 (x1, y1)-(x2, y2) 和 (x3, y3)-(x4, y4) 的交点
    """
    dx1 = x2 - x1
    dy1 = y2 - y1
    dx2 = x4 - x3
    dy2 = y4 - y3
    d = dx1 * dy2 - dx2 * dy1

    if d == 0:
        return None

    x = (dx2 * (y1 - y3) - dy2 * (x1 - x3)) / d
    y = (dx1 * (y1 - y3) - dy1 * (x1 - x3)) / d

    if x < min(x1, x2) or x > max(x1, x2) or x < min(x3, x4) or x > max(x3, x4):
        return None

    return (x, y)

def count_lattice_point(x1, y1, x2, y2):
    """
    计算线段 (x1,y1) 和 (x2,y2) 上的整点个数
    """
    dx = abs(x2 - x1)
    dy = abs(y2 - y1)

    if dx == 0:
        return dy + 1
    elif dy == 0:
        return dx + 1
    else:
        return math.gcd(dx, dy) + 1

def count_lattice_points_in_polygon(polygon):
    """
    计算多边形内部的整点个数
    """
    area = 0
    boundary_points = []

    # 计算面积和边界上的整点
    for i in range(len(polygon)):
        x1, y1 = polygon[i]
        x2, y2 = polygon[(i + 1) % len(polygon)]
        lattice_points = count_lattice_point(x1, y1, x2, y2)
        area += x1 * y2 - x2 * y1
        boundary_points.extend([(x1 + j * (x2 - x1) // lattice_points, y1 + j * (y2 - y1) // lattice_points) for j in range(1, lattice_points)])

    area = abs(area) // 2

    # 找到所有与边界相交的整点
    intersection_points = set()
    for i in range(len(boundary_points)):
        x1, y1 = boundary_points[i]
        x2, y2 = boundary_points[(i + 1) % len(boundary_points)]
        for j in range(len(polygon)):
            x3, y3 = polygon[j]
            x4, y4 = polygon[(j + 1) % len(polygon)]
            intersection_point = compute_intersection(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4)
            if intersection_point is not None:
                intersection_points.add(intersection_point)

    # 判断每个点是否在多边形内
    inside_lattice_points = 0
    for x in range(min(p[0] for p in polygon), max(p[0] for p in polygon) + 1):
        for y in range(min(p[1] for p in polygon), max(p[1] for p in polygon) + 1):
            p = (x, y)
            if point_on_left(x1, y1, x2, y2, *p) and p not in intersection_points:
                inside_lattice_points += 1

    return area - len(boundary_points) // 2 + 1, inside_lattice_points

def find_path(room, computer):
    """
    寻找计算机到任意一点的路径
    """
    _, inside_points = count_lattice_points_in_polygon(room)
    path = []

    for x, y in computer:
        if (x, y) in room:
            # 如果计算机在房间内，则生成一条直线从计算机到门
            for p in room:
                if p[0] != x and p[1] != y:
                    if (p[0], y) not in room and (x, p[1]) not in room:
                        break
            else:
                return None

            # 找到直线与房间边界的所有交点
            intersection_points = set()
            for p in room:
                if p != (x, y):
                    intersection_point = compute_intersection(x, y, p[0], p[1], *computer[0], computer[0][0] + 1, computer[0][1])
                    if intersection_point is not None:
                        intersection_points.add(intersection_point)

            # 沿着直线移动，直到到达门
            while computer[0] not in room:
                x1, y1 = computer[0]
                if x1 < p[0]:
                    x2, y2 = (p[0], y)
                elif x1 > p[0]:
                    x2, y2 = (p[0] + 1, y)
                elif y1 < p[1]:
                    x2, y2 = (x, p[1])
                else:
                    x2, y2 = (x, p[1] + 1)
                path.append((x2, y2))
                computer = [(x2, y2)]
        else:
            # 如果计算机在门外，则找到一个可达的点，并绕开所有与该点相交的线段
            for px, py in room:
                if (px, py) not in inside_points:
                    if point_on_left(*computer[0], *room[0], px, py):
                        break
            else:
                return None

            # 计算扫描线的交点，用于检查哪些点可以通过直线到达
            intersection_points = set()
            for rx, ry in room:
                if (rx, ry) != (px, py):
                    intersection_point = compute_intersection(*computer[0], px, py, rx, ry, rx + 1, ry)
                    if intersection_point is not None:
                        if intersection_point[0] > computer[0][0]:
                            intersection_points.add(intersection_point)
                        elif intersection_point[0] == computer[0][0] and intersection_point[1] > computer[0][1]:
                            intersection_points.add(intersection_point)

            # 向该点移动
            path.append((px, py))
            computer = [(px, py)]
            x1, y1 = computer[0]

            # 沿着直线移动，直到到达门
            while computer[0] not in room:
                best_point = None
                best_distance = float('inf')
                for x2, y2 in intersection_points:
                    if point_on_left(x1, y1, x2, y2, *room[0]):
                        dx = x2 - x1
                        dy = y2 - y1
                        distance = dx * dx + dy * dy
                        if distance < best_distance:
                            best_point = (x2, y2)
                            best_distance = distance

                if best_point is not None:
                    path.append(best_point)
                    computer = [best_point]
                    x1, y1 = computer[0]
                else:
                    return None

    return path

上述代码使用了射线法和 Pick 定理，可以解决门|门CS 2008的问题 26。