DAA | 近似算法顶点覆盖

简介

顶点覆盖问题是指在无向图中，选择最少的点，使得每条边都至少与其中的一个点相连。这是一个 NP 完全问题，因此通常使用近似算法来解决。

DAA（Degree Approximation Algorithm）算法是一种简单的贪心算法，它从最小度数的点开始，逐个添加点直到所有的边都被覆盖。这个算法可以在多项式时间内完成，其近似比为 2（即所得解的大小不超过最优解的两倍）。

算法流程

1. 计算每个点的度数，并将它们存储在一个列表中。
2. 选择度数最小的点，将它加入顶点覆盖集合中，并将其所有相邻的边都标记为被覆盖。
3. 从度数列表中删除已经覆盖的点，重新计算每个点的度数。
4. 重复步骤 2 和 3，直到所有的边都被覆盖。

伪代码

Input:  无向图 G = (V, E)
Output: 顶点覆盖集合 S

while E 不为空:
    找到度数最小的点 v
    将 v 加入 S
    for each 与 v 相邻的边 e:
        将 e 标记为被覆盖
    从度数列表中删除 v 和已经被覆盖的点
return S

时间复杂度

DAA 算法的时间复杂度为 O(|V|*|E|)，其中 |V| 和 |E| 分别表示图的点数和边数。但是由于近似算法通常用于解决 NP 完全问题，因此必须使用这种算法来获得多项式时间复杂度。

参考文献

• Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd ed.). The MIT Press.
• 黄云翔, 陈云洁, & 罗少波. (2012). 近似算法在图论中的应用. 计算机科学与探索, 6(2), 155-170.