具有唯一元素的最大和连续子阵列

问题描述

对于一个矩阵，我们定义它的子阵列为连续的行或者连续的列所组成的矩阵。给定一个矩阵，求出具有唯一元素的最大和连续子阵列。

例如，对于矩阵：

[
    [1, 2, 3],
    [4, 3, 5],
    [1, 6, 7]
]

该矩阵的所有唯一元素的子阵列为：

[
    [1],
    [2],
    [3],
    [4],
    [5],
    [6],
    [7],
    [1, 6],
    [6, 7],
    [1, 6, 7],
    [2, 3],
    [3, 5],
    [4, 3],
    [1, 2, 3],
    [4, 3, 5],
    [1, 2, 3, 4, 3, 5],
    [1, 2, 3, 4, 3, 5, 1, 6, 7],
    [4, 3, 5, 1, 6, 7],
    [1, 6, 7, 4, 3, 5],
]

其中具有唯一元素的最大和连续子阵列是[1, 2, 3, 4, 3, 5]和[1, 6, 7, 4, 3, 5]，它们的和都是20。

算法分析

这个问题可以使用动态规划来解决。我们定义dp[i][j]为以(i, j)为右下角的具有唯一元素的最大和连续子阵列的和。那么对于一个当前位置(i, j)，它可以由几个位置转移过来：

1. (i-1, j)：即从正上方转移过来。
2. (i, j-1)：即从正左方转移过来。
3. (i-1, j-1)：即从左上方转移过来。
4. (i-1, k)，其中k<j：即从矩阵中的某一列转移过来。

第4种情况可以使用行列分别求前缀和的方式进行优化。

最终，我们可以将dp矩阵遍历一遍，求出具有唯一元素的最大和连续子阵列。

代码实现

以下为Python实现的代码：

def max_unique_sum_submatrix(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    row_prefix_sum, col_prefix_sum = [[0] * (m+1) for _ in range(n)], [[0] * (m+1) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            row_prefix_sum[i][j+1] = row_prefix_sum[i][j] + (1 << matrix[i][j])
            col_prefix_sum[i][j+1] = col_prefix_sum[i][j] + (1 << matrix[j][i])
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            unique_value = (1 << matrix[i][j])
            dp[i][j] = unique_value
            if i > 0 and dp[i-1][j] != -1 and col_prefix_sum[i-1][j+1] - col_prefix_sum[i-1][j-dp[i-1][j]] == 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j]
            if j > 0 and dp[i][j-1] != -1 and row_prefix_sum[i][j-1+dp[i][j-1]+1] - row_prefix_sum[i][j-1] == 0:
                dp[i][j] += dp[i][j-1]
            if i > 0 and j > 0 and dp[i-1][j-1] != -1 and matrix[i][j] != matrix[i-1][j-1] and \
                col_prefix_sum[i-1][j+1] - col_prefix_sum[i-1][j-dp[i-1][j]] == 0 and \
                row_prefix_sum[i][j-1+dp[i][j-1]] - row_prefix_sum[i][j-dp[i-1][j]] == 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
            for k in range(j):
                if dp[i][k] != -1 and (unique_value & (1 << matrix[i][k])) == 0:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + unique_value)
    ans = -1
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if (1 << matrix[i][j]) == dp[i][j]:
                ans = max(ans, dp[i][j])
    return ans

以上代码中的max_unique_sum_submatrix函数即为解决这个问题的函数。它的输入参数是一个矩阵，输出参数是一个整数，代表具有唯一元素的最大和连续子阵列的和。

总结

本文介绍了如何使用动态规划的方法解决一个矩阵中，具有唯一元素的最大和连续子阵列的问题。本文提出的算法时间复杂度为$O(n^2m)$，空间复杂度为$O(nm)$。该算法已经足够优秀。