不能被前 N 个素数整除的最小合数

本文介绍如何通过编写算法函数来计算 "不能被前 N 个素数整除的最小合数".

问题描述

找到一个最小的正整数，它不能被前 N 个素数整除。

解决方案

素数

首先，我们需要了解素数的概念。素数指在大于 1 的自然数中，除了 1 和本身以外不再有其他因数的数。例如，2, 3, 5, 7, 11 都是素数。

判断素数的方法有多种，例如枚举法、试除法、筛法等。这里介绍一种简单的试除法：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

最小公倍数

接下来，我们需要了解最小公倍数的概念。最小公倍数指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。例如，2 和 3 的最小公倍数是 6。

求最小公倍数可以通过公式 $lcm(a, b) = \frac{a \times b}{gcd(a, b)}$ 来求得，其中 gcd 表示最大公约数。

from math import gcd

def lcm(a, b):
    return a * b // gcd(a, b)

求解

有了上述基础知识，我们可以来解决我们的问题了。根据题意，我们需要找到一个正整数，它不能被前 N 个素数整除。我们可以枚举从 N+1 开始的正整数，计算出它与前 N 个素数的最小公倍数，如果这个最小公倍数大于当前正整数，那么这个正整数就是我们要找的结果。

def smallest_non_multiple(n: int) -> int:
    primes = []
    i = 2
    while len(primes) < n:
        if is_prime(i):
            primes.append(i)
        i += 1
    i = n + 1
    while True:
        if all(i % p != 0 for p in primes):
            if all(lcm(p, i) > i for p in primes):
                return i
        i += 1

总结

本文介绍了如何使用 Python 语言来实现 "不能被前 N 个素数整除的最小合数" 的计算函数。通过使用素数和最小公倍数的相关知识，我们成功地解决了这个问题。