使用Branch and Bound实现01背包

简介

01背包是一个经典的背包问题，其问题描述为：给定n个物品，每个物品有一个重量w_i和价值v_i，在限定的总重量W内，选择一些物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大。Branch and Bound算法是一种求解01背包问题的有效方法。

算法思路

Branch and Bound算法通过不断分支和修剪的过程，寻找最优解。该算法的基本思路如下：

1. 对物品按单位重量的价值（vi/wi）从大到小排序。
2. 初始化表T，并将整棵树的根节点加入到T中。
3. 对T中的节点，按深度优先的顺序进行扩展，生成子节点。
4. 对新生成的子节点进行约束条件检查，如果不满足约束条件，则将该节点剪枝。
5. 对剩余节点进行一个上界的估计，如果节点的上界不优于已找到的最优值，则将该节点剪枝。
6. 重复步骤3-5，直到找到一个可行解或者所有节点都被剪枝。

代码实现

以下是使用Python实现Branch and Bound算法的示例代码：

def bound(i, profit, weight, capacity, n):
    """
    计算节点(i, profit, weight)的上界
    """
    if weight >= capacity:
        return 0
    else:
        result = profit
        j = i + 1
        total_weight = weight
        while j < n and total_weight + items[j][1] <= capacity:
            total_weight += items[j][1]
            result += items[j][0]
            j += 1
        if j < n:
            result += (capacity-total_weight) * (items[j][0]/items[j][1])
        return result

def knapsack_bnb(profit, weight, capacity, n):
    queue = [(0, 0, 0)]
    max_profit = 0
    while queue:
        i, cur_profit, cur_weight = queue.pop()
        if cur_weight > capacity:
            continue
        if i == n:
            max_profit = max(max_profit, cur_profit)
            continue
        upper_bound = bound(i, cur_profit, cur_weight, capacity, n)
        if upper_bound <= max_profit:
            continue
        queue.append((i+1, cur_profit, cur_weight))
        queue.append((i+1, cur_profit+profit[i], cur_weight+weight[i]))
    return max_profit

总结

Branch and Bound算法通过对节点的“剪枝”，减少了搜索空间，提高了算法效率。01背包问题是一个NP完全问题，没有多项式时间算法，Branch and Bound算法是求解该问题的有效方法之一。