数学 | 谓词和量词 | 2套

简介

谓词和量词是数理逻辑中的基本概念，它们在计算机科学中有着非常重要的应用，如数据库查询，AI中的知识表示与推理等。

谓词是一种语言表达式，用于表示一个断言，描述一个对象或一个集合的某种性质。谓词的常用符号包括∧、∨、¬、⟶等。

量词是用来描述关于谓词的断言与集合的性质的概念。常用的两个量词是存在量词∃和全称量词∀。

下面将介绍两套谓词和量词的表达方式，以及对应的用途。

套路一：一阶谓词逻辑

表达方式

一阶谓词逻辑，也称为一阶逻辑或一阶谓词演算（First-order Predicate Calculus），是描述一些集合性质的谓词，通过量词限定集合中元素的个数，以此构成一个逻辑语句。

一阶谓词逻辑具有以下表达方式：

1. $\forall{x}\ P(x)$ 表示对于集合中的所有元素 $x$，都满足谓词 $P(x)$。
2. $\exists{x}\ P(x)$ 表示集合中至少有一个元素 $x$，满足谓词 $P(x)$。
3. $\forall{x} (P(x)\to Q(x))$ 表示对于集合中的所有元素 $x$，如果它满足谓词 $P(x)$，则它必须满足谓词 $Q(x)$。
4. $\exists{x} (P(x) \land Q(x))$ 表示集合中至少存在一元素 $x$，满足谓词 $P(x)$ 和 $Q(x)$。

用途

一阶谓词逻辑可以用来描述一些集合性质（例如：“所有的教授都是聪明的人”;“至少有一个女孩爱数学”）。因此，在数据库查询和AI中的知识表示和推理都有非常广泛的应用。

下面是一个简单的示例，描述一个学校中的教师和课程：

1. 定义谓词 $Teach(x,y)$，表示教师 $x$ 教授课程 $y$。
2. 定义谓词 $Smart(x)$，表示教师 $x$ 聪明。
3. 定义谓词 $Like(x,y)$，表示学生 $x$ 喜欢课程 $y$。

现在我们想要查询所有教授数学的聪明教师的姓名，可以使用以下的查询语句：

$\forall{t,c}(Teach(t,c)\land c=\text{“Math”}\to Smart(t))$

意思是对于所有的教授课程数学的教师，都必须具备聪明的品质。

套路二：二阶逻辑

表达方式

二阶逻辑是一种通用的逻辑，在一阶逻辑的基础上添加了描述集合本身性质的谓词，例如集合的子集、集合的元素等。因此，二阶逻辑适用于更复杂的问题。

二阶逻辑具有以下表达方式：

1. $\forall{P}\ \big(P(\emptyset)\land \forall{x,y}(P(x)\land x\subseteq y\to P(y))\big)\to \forall{S}\ P(S)$，表示谓词 $P$ 对于空集和集合的子集都成立时，对于所有集合 $S$ 也成立。
2. $\exists{X}\ \forall{x}(x\in X\to P(x))$，表示谓词 $P$ 对于所有元素都成立的集合 $X$ 存在。

用途

二阶逻辑在形式化的数学理论推导中得到了广泛的应用，例如在ZFC集合论中的公理化描述，和可计算性理论中的递归函数等都是用到的二阶逻辑。

下面是一个简单的示例，描述在一个学校中集齐了所有的教师和学生：

1. 定义谓词 $Teach(x,y)$，表示教师 $x$ 教授课程 $y$。
2. 定义谓词 $Student(x)$，表示 $x$ 是学生。
3. 定义谓词 $Person(x)$，表示 $x$ 是一个人。

现在我们可以使用以下的表达式描述所有学校内的人：

$\exists{X}\ \forall{x}\big(Person(x)\to (x\in X)\lor Student(x)\lor \exists{c} Teach(x,c)\big)$

意义为“存在一个集合 $X$，它包含了所有的教师和学生。”