最大长度链对 | DP-20

简介

最大长度链对问题是一个典型的动态规划问题，旨在在给定链对中找到最长的链。

给定 $n$ 个链对 $(a_i, b_i)$，其中 $a_i$ 表示链的起点，$b_i$ 表示链的终点，若两个链 $(a, b)$ 和 $(c, d)$ 满足 $b < c$，则它们可组成一条链 $(a, d)$。找出任意长的链，使得每个链的起点都严格小于下一个链的起点。

这个问题可以使用动态规划算法来解决。

动态规划算法

1. 先将链对按起点从小到大排序。
2. 定义状态 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个链结尾的最长链的长度。
3. 初始化 $dp$ 数组的所有元素为 $1$，即每个链都可以作为一个长度为 $1$ 的链存在。
4. 对于第 $i$ 个链对 $(a_i, b_i)$，如果存在第 $j$ 个链对 $(a_j, b_j)$ 使得 $a_j < b_i$，则可以将第 $i$ 个链加入到以第 $j$ 个链结尾的链后面，形成一条新的链，即 $dp[i] = dp[j]+1$。
5. 在计算 $dp[i]$ 的过程中，在所有满足条件 $a_j < b_i$ 的 $dp[j]$ 中找到最大值，即 $dp[i] = \max{dp[j]} + 1$。
6. 最终结果为所有 $dp[i]$ 中的最大值。

时间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过优化排序和查找最大值的过程来减小时间复杂度，例如二分查找或最长递增子序列算法。

代码实现

def max_chain_pairs(pairs):
    pairs.sort(key=lambda x: x[0])  # 按起点从小到大排序
    n = len(pairs)
    dp = [1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if pairs[j][1] < pairs[i][0]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

总结

最大长度链对问题是一个典型的动态规划问题，可使用动态规划算法求解。需要注意对链对进行排序和查找最大值的优化方法，以提高算法效率。