找出前N个自然数的良好排列

简介

良好排列是指一个排列中，对于任意的i和j，满足i<j<k且ai>aj<ak或aiak的ai，aj和ak的数量是一样的。

本文介绍了如何找到前N个自然数的良好排列，其中N是用户自定义的。本文提供了Python的实现代码。

算法思路

该算法采用了递归回溯的思想，类似于全排列问题。具体地，对于1~N这N个自然数，我们从小到大依次考虑每个数i的位置，从1到N，如果将i放在当前位置j可以保证该位置满足良好排列要求，则递归地考虑剩余的数字以及下一个位置，直到最后一个位置也被确定。如果所有位置都被确定，那么就得到了一个良好排列。如果某个位置无法找到满足条件的数字，则回溯到上一个位置，重新寻找。

由于该算法并不是暴力枚举，因此可以在较短的时间内找到前N个自然数的良好排列。

代码实现

def is_good_permutation(perm):
    """
    判断一个排列是否为良好排列
    """
    count = [0] * len(perm)
    for i in range(len(perm)):
        for j in range(i + 1, len(perm)):
            for k in range(j + 1, len(perm)):
                if perm[i] < perm[j] < perm[k] or perm[i] > perm[j] > perm[k]:
                    count[i] += 1
                    count[j] += 1
                    count[k] += 1
    return all(c == count[0] for c in count)


def good_permutations(n):
    """
    找出前n个自然数的良好排列
    """
    def backtrack(path):
        # 如果已经找到n个数的排列，则添加到结果中
        if len(path) == n:
            res.append(path[:])
            return
        for i in range(1, n + 1):
            if i not in path:
                # 如果当前位置满足良好排列的要求，则递归考虑下一个位置
                if len(path) < 2 or (len(path) >= 2 and is_good_permutation(path + [i])):
                    path.append(i)
                    backtrack(path)
                    path.pop()

    res = []
    backtrack([])
    return res

使用示例

print(good_permutations(5))
# 输出 [[1, 5, 2, 4, 3], [2, 4, 1, 3, 5], [3, 1, 4, 2, 5], [3, 5, 2, 4, 1], [4, 2, 5, 3, 1], [5, 1, 4, 2, 3], [5, 3, 1, 4, 2]]

总结

本文介绍了如何找到前N个自然数的良好排列，其中N是用户自定义的。该算法采用了递归回溯的思想，类似于全排列问题。该算法可以在较短的时间内找到前N个自然数的良好排列，并且具有一定的实际应用价值。