门| GATE-CS-2005 |问题 19

本文介绍 GATE-CS-2005 的问题 19，该问题涉及到数据结构中的树和图。

问题描述

给定一棵树 $T$ 以及一组指定的边 $E$，要求将 $T$ 转化为一个图 $G$，使得 $G$ 中的节点与 $T$ 中的节点对应，并满足以下条件：

• 对于任意两个节点 $u,v\in T$，如果它们之间有一条路径对应的边集都在 $E$ 中，则 $u$ 和 $v$ 之间在 $G$ 中有一条边。
• $G$ 中不存在两个节点对应于 $T$ 中相邻的节点，并且不存在一条指定的边同时连接两个非相邻的节点。

算法实现

算法概述

本算法采用了深度优先搜索（DFS）来遍历树，另外维护一个 $visited$ 数组，标记每个节点是否在当前路径中。每当遍历一个节点时，把它标记为已访问，并检查是否有与已经访问过的节点之间连边的需求。如果遇到一个未访问过的节点，则继续递归处理它。

代码实现

下面是 Python 代码实现，对应的代码片段已用 markdown 标注。

def convert(T, E):
    def dfs(cur, visited):
        visited[cur] = True
        for neighbor in T[cur]:
            if visited[neighbor]:
                continue
            if (cur, neighbor) in E or (neighbor, cur) in E:
                G[cur].append(neighbor)
                G[neighbor].append(cur)
                dfs(neighbor, visited)
            else:
                dfs(neighbor, visited)

    n = len(T)
    G = [[] for _ in range(n)]
    visited = [False] * n
    dfs(0, visited)
    return G

算法分析

时间复杂度

算法中使用了 DFS 遍历树，时间复杂度为 $O(|V| + |E|)$，其中 $|V|$ 和 $|E|$ 分别为图中的节点和边的数量。

空间复杂度

算法中使用了一个 $visited$ 数组来标记节点是否在当前路径中，空间复杂度为 $O(|V|)$。此外，输出的图 $G$ 需要 $O(|V| + |E|)$ 的空间，因为每个节点最多与其他节点相邻，因此至多有 $2|E|$ 条边。

总结

本文介绍了 GATE-CS-2005 的问题 19，提供了 Python 实现。虽然本问题描述中采用的是树和图的术语，但实现时并没有涉及到树和图的具体数据结构，只是在处理边的时候需要加以判断。本问题的难度适中，主要考查对树和图的基本概念和 DFS 算法的掌握。