Kruskal 算法（邻接矩阵的简单实现）

Kruskal 算法是一种用于求最小生成树的贪心算法。由于是贪心算法，所以 Kruskal 算法每次选择当前最小的边加入生成树中，直至构成完整的最小生成树。

本篇文章将介绍 Kruskal 算法的邻接矩阵的简单实现，包括算法思路、实现步骤以及时间复杂度等方面。

算法思路

Kruskal 算法可以用图形表示如下：

Kruskal 算法的具体思路为：

1. 对所有边按照权重从小到大排序；
2. 从权重最小的边开始，判断这条边的两个顶点是否在同一个连通分量中；
3. 如果不在同一个连通分量中，则将这条边加入生成树中，并联通这两个顶点；
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直至生成树完成。

实现步骤

邻接矩阵是一种常见的图的表示方式，它通常采用二维数组来储存图的信息，如下所示：

graph = [
    [0, 2, 0, 6, 0],
    [2, 0, 3, 8, 5],
    [0, 3, 0, 0, 7],
    [6, 8, 0, 0, 9],
    [0, 5, 7, 9, 0]
]

其中，graph[i][j] 表示第 i 个顶点和第 j 个顶点之间的边的权重，0 表示这两个顶点之间没有边相连。

邻接矩阵实现 Kruskal 算法的步骤如下：

1. 读取邻接矩阵以及所有节点，构建边集合；
2. 对边集合进行排序，按照权重从小到大排序；
3. 遍历边集合，对每条边判断它的两个顶点是否在同一个连通分量中；
4. 如果不在同一个连通分量中，则将这条边加入生成树中，并将连通这两个顶点；
5. 重复步骤 3 和步骤 4，直至生成树完成。

以下是实现代码：

def kruskal(graph, nodes):
    # 将邻接矩阵转化为边集合
    edges = []
    for i in range(len(nodes)):
        for j in range(i, len(nodes)):
            weight = graph[i][j]
            if weight != 0:
                edges.append((nodes[i], nodes[j], weight))

    # 将边集合按照权重从小到大排序
    edges.sort(key=lambda x: x[2])

    # 构建连通分量集合
    disjoint_set = {node: node for node in nodes}

    # 初始化生成树和边的数量
    mst = []
    num_edges = 0

    # 遍历边集合
    for edge in edges:
        # 如果两个顶点不在同一个连通分量中，则将它们连通，并将这条边加入生成树中
        if disjoint_set[edge[0]] != disjoint_set[edge[1]]:
            mst.append(edge)
            num_edges += 1
            old_set = disjoint_set[edge[0]]
            new_set = disjoint_set[edge[1]]
            for node in nodes:
                if disjoint_set[node] == old_set:
                    disjoint_set[node] = new_set
        # 如果生成树已经包含 n-1 条边，那么生成树完成
        if num_edges == len(nodes) - 1:
            break

    return mst

时间复杂度

Kruskal 算法的时间复杂度取决于对边的排序操作。因此，Kruskal 算法的时间复杂度为 $O(E \log E)$，其中 $E$ 表示边的数量。

结语

本篇文章介绍了 Kruskal 算法（邻接矩阵的简单实现），包括算法思路、实现步骤以及时间复杂度等方面。作为一种常用的贪心算法，Kruskal 算法可以求解带权图的最小生成树。