最多有W个小门的B球得分R的得分方式

简介

这个主题涉及到的问题是：在一个篮球比赛中，得分方式有很多种，其中有一种方式称为“B球得分R的得分方式”，它的含义是：在比赛中，如果一个球员在距离篮筐距离不超过B个单位的地方射门，并且成功将球投进了小门（小门的数量不超过W个），那么这位球员就可以得到R分。

问题描述

现在我们的任务是：给定B、W、R三个参数，求出在一个比赛中，最多有多少种不同的得分方式。

举例说明

比如在一个篮球比赛中，小门数量W为2，投篮距离B为3，得分R为2。那么，假设一个球员发起了一个投篮，如果他将篮球投进了篮筐或者投进了与篮筐距离超过3个单位的位置，那么他就没有得分。而如果他将篮球投进了距离篮筐不超过3个单位的小门中，那么他就将得到2分。此时，我们可以想到至少6种可能的得分方式：

• 投进两个小门：1分+1分
• 投进两个小门：2分
• 投进一个小门：2分
• 投进一个小门：1分+1分
• 投进一个小门：1分+2分
• 投进一个小门：2分+1分

注意：如果在一个得分方式中，某个小门被投中了k次（其中k是一个大于等于2的正整数），那么这个得分方式总分数应该是Rtimesk，而不是R。

解决方案

状态表示和状态转移

我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。具体来说，我们可以定义状态$f(i, j)$表示：在距离篮筐不超过i个单位的距离上，最多投中j个小门的情况下，能够获得的最大得分数。

状态转移方程为：

$$f(i,j) = \max_{k=0}^j \left{ f(i-1,j-k) + R \times k \right}$$

其中，$k$表示当前轮所投中的小门数量，$k$的范围应该为$0 \le k \le j$。这个方程所表示的含义是：在距离篮筐不超过$i$个单位的距离上，最多可以投中$j$个小门，那么当前的最大得分可以通过在前一轮最多投中$j-k$个小门的情况下得到，再加上当前轮所投中的$k$个小门所得到的分数。

这样我们就能够用动态规划的方式求解最大的得分数了。

时间和空间复杂度

由于我们需要枚举$i$、$j$和$k$，时间复杂度为：$O(B \times W^2)$。而空间复杂度为：$O(B \times W)$。

代码实现

def max_score(B: int, W: int, R: int) -> int:
    f = [[0] * (W + 1) for _ in range(B + 1)]

    for i in range(1, B + 1):
        for j in range(1, W + 1):
            f[i][j] = f[i-1][j]
            for k in range(1, j + 1):
                if i <= k:
                    break
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-k-1][j-k] + R * k)

    return f[B][W]

总结

本文解决了一个关于得分方式的问题，介绍了动态规划的状态表示和状态转移方程。同时，我们也分析了时间和空间复杂度，并给出了完整的Python代码实现。