在矩阵中查找单个运动

有时候我们需要在一个矩阵中查找某个元素的位置，本文将介绍如何通过编写代码来实现在矩阵中查找单个运动。

题目描述

现有一个二维矩阵，行数为 $m$，列数为 $n$，矩阵中的元素是按照从上往下、从左往右递增的正整数。请编写一个程序实现：输入一个数 $target$，查找矩阵中是否存在该数，存在则返回 $true$，不存在则返回 $false$。

例如，现有以下矩阵：

[
  [1, 3, 5, 7],
  [2, 4, 6, 8],
  [3, 5, 7, 9]
]

如果输入 $target = 7$，则返回 $true$，因为矩阵中存在 $7$ 这个元素；如果输入 $target = 10$，则返回 $false$，因为矩阵中不存在 $10$ 这个元素。

解题思路

我们可以通过二分查找的方式来定位到矩阵中是否存在目标元素。具体来说，我们可以将二维矩阵想象成一个一维数组，然后进行二分查找。因为矩阵中的元素按照从上往下、从左往右递增，所以我们可以将矩阵中的第 $(i, j)$ 个元素映射到一维数组中的第 $i \times n + j$ 个元素。因此，我们可以通过对一维数组进行二分查找的方式来实现在矩阵中查找单个元素。

代码实现

def search_matrix(matrix, target):
    """
    :type matrix: List[List[int]]
    :type target: int
    :rtype: bool
    """
    if not matrix or not matrix[0]:
        return False
    
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    left, right = 0, m * n - 1
    
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        i, j = divmod(mid, n)
        if matrix[i][j] == target:
            return True
        elif matrix[i][j] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    
    return False

上述代码中，我们定义了一个 search_matrix 函数来实现在矩阵中查找单个运动。函数接收两个参数：matrix 表示矩阵，target 表示要查找的目标元素。函数返回一个布尔值，表示目标元素是否存在于矩阵中。

首先，我们判断矩阵是否为空或者行列数为零。如果是，则说明矩阵中不存在目标元素，直接返回 $false$。

接着，我们通过变量 m 和 n 分别记录矩阵的行数和列数。定义变量 left 和 right 分别表示一维数组中的左、右边界，初始值分别为 $0$ 和 $m \times n - 1$。

接下来，我们利用二分查找的方式来查找目标元素。在每次二分查找时，我们先计算出中间元素的二维坐标 (i, j)，然后将矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素与目标元素进行比较。如果相等，则说明目标元素存在于矩阵中，返回 $true$；如果目标元素比中间元素小，说明目标元素在中间元素左侧，将右边界 right 设为 mid - 1；如果目标元素比中间元素大，说明目标元素在中间元素右侧，将左边界 left 设为 mid + 1。

最后，如果二分查找未能找到目标元素，说明目标元素不存在于矩阵中，返回 $false$。

总结

在矩阵中查找单个运动可以通过二分查找的方式来实现。具体来说，我们可以将二维矩阵想象成一个一维数组，然后进行二分查找。在每次二分查找中，我们通过计算出中间元素的二维坐标 (i, j)，并将矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素与目标元素进行比较。如果相等，则说明目标元素存在于矩阵中，返回 $true$；如果目标元素比中间元素小，说明目标元素在中间元素左侧，将右边界 right 设为 mid - 1；如果目标元素比中间元素大，说明目标元素在中间元素右侧，将左边界 left 设为 mid + 1。