在矩阵中最后一行的任何元素处结束的最大权重路径

简介

在一个矩阵中，起点为第一行的任何元素，终点为最后一行的任何元素，从起点到终点的路径中每个元素都有一个权重值。求出起点到终点中，最大权重的路径。

解题思路

这是一个动态规划问题。我们可以用一个二维 dp 数组来记录到某个位置时当前路径的最大权重。在矩阵中，一个位置可以由它上方、左上方或右上方的位置到达。因此我们可以定义状态转移方程为：

dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])

其中 matrix 表示输入的矩阵。

最后，我们在最后一行找出 dp 数组中最大值及对应的位置，该位置即为终点。

代码示例

def max_weight_path(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0]*n for _ in range(m)]
    for j in range(n):
        dp[0][j] = matrix[0][j]
    
    # 状态转移
    for i in range(1, m):
        for j in range(n):
            if j == 0:
                dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])
            elif j == n-1:
                dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])
            else:
                dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])
    
    # 找到最大权重路径的终点
    max_idx, max_val = max(enumerate(dp[-1]), key=lambda x: x[1])
    
    # 打印路径及权重
    path = [(m-1, max_idx)]
    curr_val = max_val
    for i in range(m-2, -1, -1):
        j = path[-1][1]
        if j == 0:
            if dp[i][j] == curr_val-matrix[path[-1][0]][path[-1][1]]:
                path.append((i, j))
                curr_val = dp[i][j]
        elif j == n-1:
            if dp[i][j] == curr_val-matrix[path[-1][0]][path[-1][1]]:
                path.append((i, j))
                curr_val = dp[i][j]
        else:
            next_idx, next_val = max([(j-1, dp[i][j-1]), (j, dp[i][j]), (j+1, dp[i][j+1])], key=lambda x: x[1])
            if next_val == curr_val-matrix[path[-1][0]][path[-1][1]]:
                path.append((i, next_idx))
                curr_val = next_val
        
    path.reverse()
    print("最大权重路径为：", end="")
    for i, j in path:
        print(f"({i},{j}) ", end="")
    print()
    print("最大权重为：", max_val)

以上代码实现了最大权重路径的求解，并将其打印输出。为方便阅读，路径中的点按逆序输出。