计算给定数组中按位异或大于 K 的对

在计算机科学中，位异或运算是一种按位比较两个数字的操作，它的结果是一个新的数字，每个位都是两个输入数字中相应位的异或结果。 在这个问题中，我们需要计算给定数组中有多少对数字的按位异或结果大于K。

解决方案

对于这个问题，我们可以使用两种解决方案：Brute Force（暴力破解）和基于 Trie 树的优化算法。

Brute Force

暴力破解方法是通过使用两个嵌套循环，在数组中比较所有数字的每一对，找到它们的异或值，并检查它是否大于K。 如果是，则将结果加1。

def brute_force(nums, k):
    count = 0
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if nums[i] ^ nums[j] > k:
                count += 1
    return count

时间复杂度：$O(n^2)$

基于 Trie 树的优化算法

基于 Trie 树的优化算法是通过将数组中的数字表示为二进制字符串，并将它们插入到 Trie 树中。 对于任何数字，我们可以在 Trie 树中找到所有与其按位异或大于K的数字。

class TrieNode:
    def __init__(self):
        self.children = {}
        self.is_end = False
        self.count = 0
        

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode()
        
    def insert(self, num):
        node = self.root
        for bit in f"{num:032b}":
            if bit not in node.children:
                node.children[bit] = TrieNode()
            node = node.children[bit]
            node.count += 1
        node.is_end = True

    def search(self, num, k):
        node = self.root
        count = 0
        for bit in f"{num:032b}":
            if not node:
                break
            if (k >> 31) & 1:
                flip = '0' if bit == '1' else '1'
                if flip in node.children:
                    count += node.children[flip].count
                node = node.children.get(bit)
            else:
                flip = '0' if bit == '0' else '1'
                if flip in node.children:
                    count += node.children[flip].count
                node = node.children.get(bit, None)
        return count

def trie_based(nums, k):
    trie = Trie()
    for num in nums:
        trie.insert(num)
    count = 0
    for num in nums:
        count += trie.search(num, k)
    return count // 2

时间复杂度：$O(n * \log{max{nums}})$

总结

在这个问题中，我们介绍了两种解决方案：暴力破解和基于 Trie 树的优化算法。 基于 Trie 树的优化算法比暴力破解更快，因为它只需要处理与K相关的数字，而不是比较数组中的所有数字。