检查正方形是否可以分为两个相等的部分

在这个问题中，我们需要检查给定的一个 $n\times n$ 网格中是否有一个正方形（边长为 $k$），其中有且仅有一个单元格被染上颜色，使得该正方形可以被平分为两个有相等元素个数的部分。

要解决这个问题，我们可以采用以下算法：

1. 枚举正方形的边长 $k$（从 $1$ 到 $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$），用双层循环枚举正方形的左上角的坐标 $(i,j)$。
2. 对于当前枚举的正方形，统计其中染色方块的个数，如果不为 $1$，继续枚举下一个正方形，否则进入下一步。
3. 枚举正方形中间的线（即分割为两部分的线）。对于此中间线的每个位置，统计右下角子矩形中的方块个数，如果个数相同，则找到解并返回，否则枚举下一个中间线。

该算法的时间复杂度为 $O(n^4)$，因为我们需要枚举 $k$、$i$ 以及 $j$，然后又需要枚举每个正方形中间的线，最后检查子矩阵中的颜色方块的个数。因此，对于较大的输入，该算法可能不够快。

下面是 Python 代码实现：

def check_square(n, pixels):
    for k in range(1, n // 2 + 1):
        for i in range(n - k + 1):
            for j in range(n - k + 1):
                count = 0
                for x in range(i, i + k):
                    for y in range(j, j + k):
                        if pixels[x][y] == 1:
                            count += 1
                            if count > 1:
                                break
                    if count > 1:
                        break

                if count == 1:  # 只有一个有颜色
                    for l in range(i, i + k - 1):
                        count_left = sum(pixels[x][y] for x in range(i, l+1) for y in range(j, j+k))
                        count_right = sum(pixels[x][y] for x in range(l+1, i+k) for y in range(j, j+k))
                        if count_left == count_right:
                            return True

    # 没找到
    return False

该函数的输入参数为网格的大小 $n$（这里假设宽和高相等）以及一个 $n\times n$ 的二值元素列表 pixels（black=1，white=0），而输出为一个布尔值，指示是否可以找到一个符合要求的正方形。

如下代码展示了该函数的一个使用示例：

n = 5
pixels = [[0, 0, 0, 0, 0],
          [0, 0, 0, 0, 0],
          [0, 1, 0, 0, 0],
          [0, 0, 0, 0, 0],
          [0, 0, 0, 0, 0]]

result = check_square(n, pixels)
print(result)  # True

其中，我们使用了一个 $5 \times 5$ 的网格作为输入，其中只有一个单元格被染色，而该单元格恰好位于正方形的中心。因此，可以找到一个符合要求的正方形，该代码将返回 True。

我们还可以尝试使用更快的算法，例如回溯法和分治法来解决该问题。但是，在很大的输入上，这些策略的时间复杂度可能仍然会很高。