斐波那契三角形第 K 层的数字总和

斐波那契三角形是由斐波那契数列之间的关系所形成的三角形。每一层都是斐波那契数列中的一段，其前两个数是 1，其余数字是前两个数字之和。斐波那契三角形的第 K 层所表示的是斐波那契数列中的第 K 项到第 K + 1 项之和。

解法

我们可以用一个递归函数来计算斐波那契数列，然后使用另一个函数来计算斐波那契三角形。斐波那契三角形的第 K 层所表示的是斐波那契数列中的第 K 项到第 K + 1 项之和，所以我们只需要用递归函数来计算斐波那契数列的第 K 项和第 K + 1 项，然后将它们相加即可。

def fibonacci(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)


def fibonacci_triangle_sum(k):
    if k <= 0:
        return 0
    else:
        return fibonacci(k) + fibonacci(k+1)

复杂度分析

在上面的算法中，我们使用了递归函数来计算斐波那契数列和斐波那契三角形，所以其时间复杂度为 O(2^n)，空间复杂度也为 O(2^n)，其中 n 为计算斐波那契数列和斐波那契三角形的层数。这个算法的时间复杂度非常高，所以在实际中不建议使用这种算法。

改进算法

改进算法的关键在于避免重复计算。在我们的原始算法中，我们对于每一个斐波那契数列的值都进行了重复计算。例如，当我们需要计算第 K+2 项时，我们需要计算第 K+1 项和第 K 项，而当我们需要计算第 K+3 项时，我们需要计算第 K+2 项和第 K+1 项。这样的重复计算导致了算法的时间复杂度非常高。

我们可以通过使用一个字典来存储已经计算过的值来避免重复计算。这样我们就可以在常数时间内获取已经计算过的斐波那契数列的值，从而避免了重复计算。

def fibonacci(n, cache):
    if n in cache:
        return cache[n]
    elif n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        result = fibonacci(n-1, cache) + fibonacci(n-2, cache)
        cache[n] = result
        return result


def fibonacci_triangle_sum(k):
    cache = {}
    if k <= 0:
        return 0
    else:
        return fibonacci(k, cache) + fibonacci(k+1, cache)

复杂度分析

在改进算法中，我们使用了一个字典来存储已经计算过的值。这样我们可以在常数时间内获取已经计算过的斐波那契数列的值，所以时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也为 O(n)，其中 n 为计算斐波那契三角形的层数。由于我们避免了重复计算，所以改进算法的时间复杂度是要比原始算法低得多的。

总结

斐波那契三角形第 K 层的数字总和可以用递归函数来计算斐波那契数列，然后使用另一个函数来计算斐波那契三角形。由于原始算法存在重复计算的问题，所以时间复杂度非常高。我们可以通过使用一个字典来存储已经计算过的值来避免重复计算，从而提高算法的时间复杂度。