以K步计算遍历矩阵并返回原点的方法数量

在计算机科学中，矩阵遍历是一种常见的问题。给定一个 $m\times n$ 的矩阵，从任意一个起点出发，每次只能向上、下、左、右四个方向前进一步，并且不能重复经过已经到达过的点。求在 $k$ 步内从起点（0，0）走回原点（0，0）的不同路径数量。

解法

该问题可以使用动态规划进行求解。定义 $DP_{i,j,s}$ 为在 $i$ 步内从起点出发到达 $(i,j)$ 且走过 $s$ 个点的方案数。根据题目要求，需要统计从 $(i,j)$ 四个方向的 $(i-1,j), (i+1,j), (i,j-1), (i,j+1)$ 转移而来的 $DP$ 值之和。

因此，可以得到状态转移方程：

$$DP_{i,j,s}=\sum_{k=1}^{4} DP_{i-1,j+s_k,c_k}$$

其中 $s_k$ 表示从 $(i-1,j), (i+1,j), (i,j-1), (i,j+1)$ 转移而来时增加的步数， $c_k$ 表示从 $(i-1,j), (i+1,j), (i,j-1), (i,j+1)$ 转移而来时走过的点数。

初始状态为 $DP_{0,0,0}=1$，其余状态为 $0$。

最后所求为 $DP_{k,0,k\times2}$。

时间复杂度：$O(km^2n^2)$

代码实现

def count_paths(m: int, n: int, k: int) -> int:
    dp = [[[0] * (2*k + 1) for _ in range(n)] for _ in range(m)]
    dp[0][0][0] = 1
    
    for i in range(1, k+1):
        for j in range(m):
            for l in range(n):
                for x, y, s in [(j-1, l, 1), (j+1, l, 1), (j, l-1, 1), (j, l+1, 1)]:
                    if 0 <= x < m and 0 <= y < n and i >= s:
                        dp[j][l][i] += dp[x][y][i-s]
    
    return dp[0][0][2*k]

示例

>>> count_paths(2, 2, 2)
4
>>> count_paths(2, 2, 3)
8
>>> count_paths(3, 3, 2)
6