GCD = 1的子数组数 | 段树

介绍

这篇文章将介绍如何使用线段树来解决“GCD = 1的子数组数”问题。具体来说，问题是要计算给定数组中GCD为1的连续子数组的数量。我们将首先定义GCD的概念，然后讨论线段树的基础知识，并说明如何使用线段树来求解该问题。

GCD

GCD是最大公约数的缩写。给定两个数a和b，它们的GCD是可以整除a和b的最大正整数。可以使用欧几里得算法（辗转相减法）来计算两个数的GCD。具体来说，如果a > b，则可以将a替换为a-b，然后递归计算GCD，直到a和b相等。此时，它们的值就是GCD。

线段树

线段树是一种用于处理区间数据的数据结构。它在许多算法问题中都非常有用，例如求解区间求和、最大值、最小值等等。如其名，线段树是一种树形数据结构，其中每个节点表示一个区间。叶节点表示数组中的一个元素。为了计算区间GCD，我们需要将每个节点的值存储为该区间中所有元素的GCD。

解决方案

现在我们已经准备好解决原始问题了。假设我们有一个包含N个整数的数组。首先，我们需要构建一个线段树来表示该数组。每个节点应该包含该节点表示的区间中所有元素的GCD。然后，我们需要以O(N log N)时间遍历线段树，计算每个区间中的GCD。如果区间的GCD为1，则该区间中的所有子数组都是GCD = 1的子数组。因此，我们可以使用容斥原理来计算不同长度的子数组的总数，并将其相加，以确定该数组中GCD = 1的子数组的总数。

构建线段树

我们将在Python中实现线段树。我们首先定义一个名为SegmentTree的类来表示线段树。需要注意的是，这个类中只找到一个方法，也就是“ init”方法，用于构建线段树。其他线段树操作，例如更新和查询，将在稍后提到。

class SegmentTree:
    def __init__(self, array):
        self.array = array
        self.tree = [0] * (4 * len(array))
        self.build(1, 0, len(array) - 1)

    def build(self, node, start, end):
        if start == end:
            self.tree[node] = self.array[start]
        else:
            mid = (start + end) // 2
            left_node = node * 2
            right_node = node * 2 + 1
            self.build(left_node, start, mid)
            self.build(right_node, mid + 1, end)
            self.tree[node] = math.gcd(self.tree[left_node], self.tree[right_node])

“ init”方法接收一个数组作为输入，并创建对应的线段树。self.array是线段树的存储数组。self.tree是线段树本身，其中每个节点包含该节点表示的区间的GCD。该方法还调用build方法来创建线段树。

在build方法中，我们首先检查该节点表示的区间是否包含单个元素。如果是，则将该节点的值设置为数组中对应的元素。否则，将区间分为两半，并递归地创建左右子节点。然后，将该节点的值设置为左右子节点值的GCD。

遍历线段树计算GCD

我们定义一个递归函数来遍历线段树并计算每个区间的GCD。函数gcd_count的第一个参数是节点的索引，第二个参数是节点表示的区间的开头，第三个参数是节点表示的区间的结尾。该函数将递归地调用自身，并使用math.gcd函数计算每个节点的GCD。如果GCD为1，则计算该区间包含的子数组的数量。总共有len(array) * (len(array) + 1) / 2个子数组，但是我们需要减去长度为2或更大的子数组数量，以避免重复计算。

def gcd_count(self, node, start, end):
        if self.tree[node] == 1:
            return end - start + 1 - self.subarray_count(end - start + 1)
        elif start == end:
            return 0
        else:
            mid = (start + end) // 2
            left_node = node * 2
            right_node = node * 2 + 1
            left_count = self.gcd_count(left_node, start, mid)
            right_count = self.gcd_count(right_node, mid + 1, end)
            return left_count + right_count

这个函数返回包含在这个区间中的GCD = 1的子数组的数量。如果区间GCD不为1，则返回0。

计算子数组数量

上述方法包括一个名为subarray_count的辅助函数，该函数计算给定长度的数组中长度为2或更大的子数组数量。它使用相同的容斥原理技术，其中一个长度为k的数组中长度为i的子数组数量为k-i+1。使用这个计算方法，我们可以计算1到N的所有可能长度的子数组数，然后减去所有长度大于1的重复计数。下面是这个函数的代码：

def subarray_count(self, n):
        count = n * (n + 1) // 2
        for k in range(2, n + 1):
            count -= (n - k + 1) * (k - 1)
        return count

运行和示例

现在我们已经定义了SegmentTree类和相应的算法，我们可以创建一个示例并运行它。例如，给定如下输入数组：

array = [1, 2, 3, 4, 5]

我们可以执行以下代码来计算GCD = 1的子数组数量：

tree = SegmentTree(array)
count = tree.gcd_count(1, 0, len(array) - 1)
print(count)

输出应该是2，因为数组中有两个GCD为1的子数组，分别是[1, 2]和[2, 3]。

结论

在这篇文章中，我们已经讨论了使用线段树来求解“GCD = 1的子数组数量”的问题。我们定义了GCD的概念，并介绍了线段树及其基本知识。我们还展示了如何使用容斥原理来计算所有可能长度的子数组数量，并确定其中哪些子数组GCD为1。这种方法的时间复杂度为O(NlogN)。