资质 | 门 CS 1998 | 第 84 题

这是一道来自“门 CS 1998”历年真题的编程题目，需要满足以下要求：

• 语言不限，可使用任何编程语言完成；

• 实现一个函数或方法，接受一个正整数 n 作为参数，返回一个长度为 n 的数组；

• 数组中的第 i 个元素的值要等于 i 的二进制表示中 1 的个数，例如：

  • 当 n = 5 时，应该返回 [0, 1, 1, 2, 1]，因为：

    • 0 的二进制表示是 0，其中的 1 的个数是 0；
    • 1 的二进制表示是 1，其中的 1 的个数是 1；
    • 2 的二进制表示是 10，其中的 1 的个数是 1；
    • 3 的二进制表示是 11，其中的 1 的个数是 2；
    • 4 的二进制表示是 100，其中的 1 的个数是 1。

此题考察二进制数的计算和位运算，可以通过递归、循环、查表等方法解决。具体实现方法可以参考以下思路：

• 对于任意正整数 x，其二进制表示中 1 的个数等于 x 除以 2 取整后的整数的二进制表示中 1 的个数加上 x 除以 2 的余数，即：

  def count_bits(x: int) -> int:
      return count_bits(x // 2) + (x % 2) if x > 0 else 0
  

• 在调用 count_bits 函数时，可以使用 memoization 技术缓存已经求解过的值，避免重复计算，提高程序性能，例如：

  def count_bits(n: int) -> List[int]:
      memo = [0] * (n + 1)
  
      def helper(x: int) -> int:
          if x == 0:
              return 0
          elif memo[x] > 0:
              return memo[x]
          else:
              memo[x] = helper(x // 2) + (x % 2)
              return memo[x]
  
      return [helper(i) for i in range(n + 1)]
  

最终的实现代码需要考虑输入的边界情况，例如当 n 小于等于 0 时应该返回空数组等。