使用最少比较次数的数组的最大值和最小值

在编写算法时，通常需要在一组数据中找到最大和最小元素。我们知道，直接比较每个元素并找到最大和最小值需要进行2n-2次比较。而如果我们使用不同的算法，可以减少比较的次数，提高程序的效率。

算法

在一个数组中，我们可以通过比较成对的元素来找到最大和最小值。首先，将元素分成两组，每组有n/2个元素。然后，比较每一组中的元素。这样我们可以找到每个组的最大值和最小值（每个组可通过一次比较）。因此，我们现在有了n/2个元素，我们需要在这些元素中找到最大和最小值。

这里有一个小技巧：如果我们在一次比较中同时找到最大和最小值，那么我们可以将比较的次数减少到3n/2 - 2。

让我们看一下如何实现这个算法：

public static void findMinMax(int[] arr, int n) {
  int min, max, i;
  if (n % 2 == 0) {
    if (arr[0] > arr[1]) {
      max = arr[0];
      min = arr[1];
    } else {
      max = arr[1];
      min = arr[0];
    }
    i = 2;
  } else {
    max = arr[0];
    min = arr[0];
    i = 1;
  }

  while (i < n - 1) {
    if (arr[i] > arr[i + 1]) {
      if (arr[i] > max) {
        max = arr[i];
      }
      if (arr[i + 1] < min) {
        min = arr[i + 1];
      }
    } else {
      if (arr[i + 1] > max) {
        max = arr[i + 1];
      }
      if (arr[i] < min) {
        min = arr[i];
      }
    }
    i += 2;
  }

  System.out.println("最小值: " + min);
  System.out.println("最大值: " + max);
}

这个算法使用了三个循环和一个条件语句，因此时间复杂度为O(n)。在最坏情况下，它需要3(n/2)-2次比较。算法的空间复杂度为O(1)。

结论

使用这种算法可以显著减少比较的次数，提高算法的效率。这对于大型数据集、实时系统和需要快速响应的应用程序非常有用。虽然该算法不如基于比较的算法通用，但它在某些情况下可以提供更好的性能。

参考资料

• Sedgewick, Robert. Algorithms (4th Edition). Addison-Wesley Professional, 2011.
• Cormen, Thomas H., et al. Introduction to Algorithms (3rd Edition). MIT Press, 2009.