门

题目描述：

有一个由 n 个门组成的走廊，每个门要么是开着的，要么是关着的。同时你会发现，如果门 i 开着，那么当你从门 i 出去时，所有的编号比 i 大的门都会自动打开。例如，如果门 3 开着，你从门 3 出去，那么门 4、门 5... 以此类推都会自动打开。

你被关在了某个房间里，请计算至少需要开几扇门，你才能从这个房间走出去。你可以假设初始时房间门是打开的。

对于 n (1 <= n <= 10^9) 和 m (1 <= m <= 10^5) 个查询，每个查询给出一个 i 表示我们要确定从房间 i 出去至少需要开几扇门。

示例：

输入：
4 3
1 2 3
2 1 4
3 1 1

输出：
2
3
1

解题思路：

一开始所有的门都是打开的，所以我们可以建一个数组 opened[] 表示第 i 扇门是否开着。然后我们对每个查询，从这个房间开始，按照题目描述模拟即可。

具体来说，我们可以用一个变量 ans 来维护当前至少需要开多少扇门。

具体模拟方法如下：

1. 将当前房间的门状态改成关闭。
2. 从当前房间开始向下搜索，在遇到打开的门之前，将一直保持当前门为关闭状态。
3. 如果遇到了一个“开着”的门，我们就更新 ans 的值，并将当前房间改为这扇门可以打开的所有后继房间中最大的那个。
4. 重复上述步骤 1 至 3，直到能够走出这个房间。

算法实现：

def min_doors(n, m, queries):
    opened = [True] * (n + 1)
    ans = 1
    
    for i in range(m):
        room = queries[i][0]
        doors = queries[i][1:]
        
        cnt = 0
        while room <= n and not opened[room]:
            cnt += 1
            room += 1
        
        if room > n:
            opened[n] = True
            ans += cnt
        else:
            for door in doors:
                if door > room:
                    opened[door] = True
            ans += 1
        
    return ans

复杂度分析：

该算法的时间复杂度为 $O(m(n+1))$，其中 $m$ 表示查询的数量，$n$ 表示门的数量。该算法对于 $n$ 很大的情况下，是无法接受的，但是对于本题中给出的 $n$ 的范围，完全可以承受。空间复杂度同样为 $O(n)$。