在特定范围内查找具有特定总和的数字的排列，直到 N

介绍

在程序设计中，我们经常会遇到需要在特定范围内查找具有特定总和的数字的排列的问题。例如，给定一个正整数 N 和一个数组，要求在这个数组中查找所有的组合，使其元素之和等于 N。这是一个常见的问题，也是很多程序员在面试中可能会遇到的问题。

解决这个问题的方法有很多，可以使用递归或者迭代的方式来实现。但是实现的难度和时间复杂度都与所使用的算法有关。在本文中，我们将介绍几种不同的算法，以及它们的优缺点。

算法

方法一：暴力算法

暴力算法是最朴素的解法，它的思路是搜索所有的组合情况，直到找到符合要求的组合。

具体实现步骤如下：

1. 初始化一个空数组 res 来保存符合要求的组合。
2. 对数组进行遍历，依次选取每个元素作为组合中的一部分，以此递归求解子问题，继续选取后面的元素。
3. 当选取的元素的总和等于目标数 N 时，将该组合保存到 res。
4. 返回 res。

暴力算法的时间复杂度为 O(2^N)，因为在最坏情况下总共有 2^N 种组合可能需要搜索。当 N 很大的时候，这个方法的效率非常低下，而且很容易造成栈空间溢出。

方法二：回溯算法

回溯算法是一种优秀的解决组合问题的算法，它的核心是在搜索过程中剪枝，减少无效的搜索。

具体实现步骤如下：

1. 初始化一个空数组 res 来保存符合要求的组合。
2. 对数组进行遍历，依次选取每个元素作为组合中的一部分，以此递归求解子问题，继续选取后面的元素。
3. 当选取的元素的总和等于目标数 N 时，将该组合保存到 res。
4. 回溯到上一个状态，去掉上一步选取的元素，继续搜索其他的可能组合。
5. 返回 res。

回溯算法的时间复杂度和空间复杂度都比暴力算法低，但仍然是指数级别的。具体时间复杂度难以计算，但在实际应用中，回溯算法通常是一种比较有效的算法。

方法三：动态规划算法

动态规划算法是一种将大问题拆分成小问题，并将小问题的解决方案保存起来以便重复利用的算法。

具体实现步骤如下：

1. 初始化一个大小为 (N+1) 的一维数组 dp，dp[i] 表示在数组中选取元素之和为 i 时的组合个数。
2. 对数组进行遍历，依次选取每个元素，对 dp 进行更新，dp[i] 的值为 dp[i] + dp[i-num]。
3. 最终 dp[N] 就是目标数 N 所对应的组合个数。

动态规划算法的时间复杂度为 O(N^2)，比暴力算法和回溯算法都要低。但是动态规划算法需要额外的空间存储 dp 数组，不适合处理特别大的 N 值。

参考资料

1. Leetcode
2. GeeksforGeeks
3. 算法基础课

代码示例

下面是在 Python 中实现回溯算法的代码示例：

def find_combinations(nums, N):
    res = []
    def backtracking(start, val, path):
        if val == N:
            res.append(path)
            return
        for i in range(start, len(nums)):
            if val + nums[i] > N:
                break
            backtracking(i, val+nums[i], path+[nums[i]])
    backtracking(0, 0, [])
    return res