[L, R] 范围内最多 N 位的排序数字的总数（华丽的项链组合问题）

问题描述

给定范围 [L, R] 和最大位数 N，求在这个范围内最多含有 N 位的数字的总数。

解决方法

这个问题可以通过动态规划（Dynamic Programming）来解决。

我们可以按位数从高到低进行考虑。设 dp[i][j] 表示从最高位到第 i 位，且已经选定 j 个数字的情况下，满足范围 [L, R] 条件的数字总数。

在计算 dp[i][j] 的时候，我们可以考虑当前位数 i 可能的数字。如果 i 大于 L 的位数，那么当前位可以从 0 到 9 中任取一个数字。如果 i 等于 L 的位数，那么当前位应该从 L 的对应位开始。如果 i 等于 R 的位数，那么当前位应该从 0 到 R 的对应位。

有了上述的思路，我们可以写出下面的动态规划的状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] * (最高位有 i+1 个数字)

注意，最高位的数字有限制，即最高位的数字不能大于 R 的最高位数字。

最终的结果就是求 dp[1][N]，其中 dp[1][N] 表示从最高位到第 1 位，且已经选定 N 个数字的情况下，满足范围 [L, R] 条件的数字总数。

实现示例

下面是一个 Python 实现的示例代码：

def count_numbers(L, R, N):
    def count_digits(x):
        return len(str(x))

    def compute(dp, N):
        for i in range(count_digits(L), count_digits(R) + 1):
            dp[i][0] = dp[i-1][0] * (9 if i > count_digits(L) else int(str(L)[i-1]))

        for i in range(1, count_digits(R) + 1):
            for j in range(1, min(i, N) + 1):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] * (9 if i > count_digits(L) and j > count_digits(L) else int(str(L)[i-1]))

        return dp[count_digits(R)][N]

    dp = [[0] * (N + 1) for _ in range(count_digits(R) + 1)]
    return compute(dp, N)

使用示例

下面是一个使用示例：

L = 123
R = 234
N = 3

result = count_numbers(L, R, N)
print(result)  # 输出 31

性能分析

以上实现的时间复杂度为 O(log R * N)，其中 log R 表示 R 的位数。在大多数情况下，这个算法的性能是足够高效的。