从有限面额中总计N的方法总数

在面额有限的情况下，我们需要计算总共有多少种方法可以总计N元。这是一道典型的动态规划问题。

算法思路

我们可以使用一个数组dp[]来记录总和为i的方法总数。当我们加入一张面额为j的纸币时，实际上相当于原先求总和为i的方法总数，加上了求总和为i-j的方法总数。

所以我们可以得到如下的状态转移方程：

dp[i] = dp[i] + dp[i - j]

其中i表示总和，j表示当前考虑的面额。对于边界情况，即总和为0时，方法总数为1。

假设面额有n种，总和为N，那么总时间复杂度为O(nN)。

代码实现

下面是使用Python实现的代码片段：

def count_combinations(n, arr):
    dp = [1] + [0] * n
    for coin in arr:
        for i in range(coin, n + 1):
            dp[i] += dp[i - coin]
    return dp[-1]

测试示例

下面是使用上面代码片段的一个测试示例，假设纸币的面额为1元、2元和5元，需要总计11元：

arr = [1, 2, 5]
n = 11
result = count_combinations(n, arr)
print(result)  # 输出结果为12种方法

总结

通过使用动态规划算法，我们可以很方便地计算出总共有多少种方法可以总计N元。当然，算法性能依赖于给定的面额和总和大小，如果面额很大，总和也很大，那么计算量就会非常大，算法效率也会受到影响。