使用优先队列找到距离原点最近的 K 个点

介绍

在计算几何中，我们经常需要寻找距离某一个点最近的一些点。如果要寻找所有点中距离该点最近的 k 个点，一种常见的做法是使用优先队列。

一个优先队列是一种能够以优先级为条件进行添加和删除元素的数据结构。在计算几何领域中，优先级通常指距离某个参考点的距离。具体来说，我们可以将所有的点按照它们距离该参考点的距离排序，并且将它们依次加入到一个优先队列中。每加入一个元素，我们都可以检查队列的长度是否超过了 k。如果超过了 k，我们就要把当前优先队列中距离最远的元素（即队头）删除，以保证队列长度不超过 k。

当算法结束时，队列中剩余的所有元素就是距离该参考点最近的 k 个点。

算法实现

在实现上述算法时，需要注意以下几点：

1. 为了避免在排序时出现浮点数舍入误差，我们可以把距离乘上一个较大的常数，然后将其转化为整数，这样就可以将距离转化为优先级。
2. 在计算两点之间的距离时，我们可以使用欧几里得距离公式，它是两点间距离的标准衡量方法。
3. 可以使用 C++ STL 中的 priority_queue 来实现优先队列。

下面是一个使用 C++ 实现的示例程序：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const int kMaxN = 1e5 + 5;
const int kMaxK = 100;

struct Point {
    int x, y, id;
    Point(int x = 0, int y = 0, int id = 0) : x(x), y(y), id(id) {}
};

typedef long long ll;
typedef pair<ll, Point> pq_type;

int n, k;
Point pts[kMaxN];
ll sqr(ll x) { return x * x; }
ll dist(Point& a, Point& b) { return sqr(a.x-b.x) + sqr(a.y-b.y); }

void find_nearest_k(Point& p) {
    priority_queue<pq_type> pq;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i != p.id) {
            ll d = dist(pts[i], p);
            pq.push(make_pair(-d, pts[i]));
            if (pq.size() > k) pq.pop();
        }
    }
    vector<Point> result(k, Point());
    for (int i = k-1; i >= 0; i--) {
        result[i] = pq.top().second;
        pq.pop();
    }
    cout << "The nearest " << k << " points to (" << p.x << "," << p.y << ") are:" << endl;
    for (const Point& pt : result) {
        cout << "(" << pt.x << "," << pt.y << ")" << endl;
    }
}

int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        pts[i] = Point(x, y, i);
    }
    int center; cin >> center;
    find_nearest_k(pts[center]);
    return 0;
}

性能分析

在上述算法中，我们需要遍历所有的点，所以算法的时间复杂度为 $O(n\log{k})$。其中，插入和删除优先队列中元素的时间复杂度都是 $O(\log{k})$。而由于本算法中使用的是平衡树来实现优先队列，所以它具有较好的效率。

对于空间复杂度，本算法需要占用 $O(k)$ 的额外空间，因为优先队列中最多只需要存储 k 个元素。

总之，本算法在找到距离原点最近的 k 个点方面具有较高的效率，可以很好地应用到许多计算几何问题中。