证明 2u6 – 3u4 + 1 = 0

给定数列 $u_n=\cos n\theta +\sin n\theta$，要证明 $2u_6-3u_4+1=0$。

我们可以首先将 $u_n$ 展开：

$$ u_n=\cos n\theta +\sin n\theta =2\cos \frac{n\theta -\theta}{2} \cdot \sin\frac{n\theta +\theta}{2} $$

将 $n=4$ 和 $n=6$ 带入上式，得到

$$ u_4=2\cos \theta \cdot \sin 2\theta\quad \text{和} \quad u_6=2\cos 2\theta \cdot \sin 3\theta $$

然后将 $2u_6-3u_4+1$ 直接计算：

$$ \begin{aligned} 2u_6-3u_4+1 &=2\cdot 2\cos 2\theta \cdot \sin 3\theta -3\cdot 2\cos \theta \cdot \sin 2\theta +1\ &=\sin\theta(4\cos^2\theta -6\cos^2\theta+2)+\cos\theta(4\sin^3\theta-3\sin2\theta)\ &=-2\cos\theta(1-2\cos^2\theta)+\cos\theta(2\sin^3\theta-3\sin2\theta)\ &=-2\cos\theta(1-\cos^2\theta)+\cos\theta(2\sin^3\theta-6\sin\theta\cos\theta)\ &=-2\cos\theta\sin^2\theta+2\cos^2\theta\sin^2\theta=0 \end{aligned} $$

因此，$2u_6-3u_4+1=0$ 成立，证毕。

代码实现

此问题不需要编程实现。