计算构造目标字符串的方法数

当我们给定一个字符串S和一个目标字符串T，如何计算构造目标字符串T的方法数呢？下面我们介绍两种常见的解法。

1. 动态规划算法

我们可以设状态dp[i][j]表示S的前i个字符和T的前j个字符匹配的方法数，其中i和j都从1开始算。那么我们可以根据S[i]和T[j]的不同情况来分析状态转移：

• 当S[i] == T[j]时，我们有两种选择：匹配或者不匹配。如果匹配，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，即S的前i-1个字符和T的前j-1个字符匹配的方法数。如果不匹配，则需要在S的前i-1个字符中找到T的前j个字符，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

• 当S[i] != T[j]时，我们只有一种选择：在S的前i-1个字符中找到T的前j个字符，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

最终的答案即为dp[n][m]，其中n和m分别为S和T的长度。

算法的时间复杂度为$O(nm)$，空间复杂度也为$O(nm)$。

2. 组合数的算法

我们可以将问题转化成求解从S中选出若干字符组成T的方案数。我们设count[i][j]表示从S的前i个字符中选出j个字符的方案数，则有：

• 当S[i] == T[j]时，我们有count[i][j] = count[i-1][j-1]。这是因为我们既可以选择S[i]作为T[j]的最后一个字符，也可以选择不选S[i]。

• 当S[i] != T[j]时，我们有count[i][j] = count[i-1][j]。

最终的答案即为count[n][m]，其中n和m分别为S和T的长度。这种算法的时间复杂度为$O(nm)$，空间复杂度为$O(m)$（可以优化成$O(\min(n, m))$）。

以上两种算法都可以求解构造目标字符串的方法数，具体应该根据具体情况选择合适的算法。