11类 NCERT解决方案-第9章序列和序列–练习9.3 |套装2

简介

本节是NCERT 11类的第9章“序列和序列”的练习9.3，涵盖了以下主题：

• 等差数列的通项公式和一般项的求解
• 计算等差数列中的第n项
• 推导等差数列的求和公式

本文提供了完整的解决方案，并附有代码示例和详细的解释。

解决方案

等差数列的通项公式和一般项的求解

等差数列中每一项与前一项的差值都相等，这个差值称为公差。对于等差数列a₁, a₂, a₃, ...，公差为d，则该数列的通项公式为：

aₙ = a₁ + (n-1)d

其中n为项数。假设我们要求一个等差数列的第5项，给定a₁和公差d即可计算出a₅：

a1 = 2
d = 3
n = 5
a5 = a1 + (n-1)*d
print(a5)   # 输出11

此处a₁=2，公差d=3，项数n=5，因此a₅=2+(5-1)×3=11。

计算等差数列中的第n项

我们可以使用上文提到的通项公式计算等差数列中的任意一项。假设我们已知某个等差数列的第1项为a₁，公差为d，则可以写出一个函数来计算该数列的第n项：

def nth_term(a1, d, n):
    return a1 + (n-1)*d

如果我们已知a₁和d，并想要计算该等差数列的第10项，则可以如下调用该函数：

a1 = 2
d = 3
n = 10
a10 = nth_term(a1, d, n)
print(a10)   # 输出29

此处a₁=2，公差d=3，项数n=10，因此a₁₀=2+(10-1)×3=29。

推导等差数列的求和公式

我们可以使用等差数列的通项公式来推导等差数列的求和公式。假设我们将等差数列a₁, a₂, a₃, ... 的前n项求和，记作Sₙ，则

Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ

这个求和式可以写成：

Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ)

推导过程如下：

我们用n除以2得到的商是项数的一半，也就是前n项的平均项数。对于等差数列来说，它的前n项中间那一项是平均数。假设这个平均数为aₖ，则有：

aₖ = (a₁ + aₙ)/2

移项得：

a₁ + aₙ = 2aₖ

将上式代入求和式中可得：

Sₙ = n/2 (2aₖ) = n/2 (a₁ + aₙ)

因此，我们可以使用Sₙ = n/2 (a₁ + aₙ)计算等差数列的前n项和。下面是一个使用该公式计算前10项和的示例：

a1 = 2
d = 3
n = 10
a10 = nth_term(a1, d, n)
S10 = n/2 * (a1 + a10)
print(S10)   # 输出145

结论

本文提供了完整的解决方案和代码示例，涵盖了等差数列的通项公式和一般项的求解、计算等差数列中的第n项以及推导等差数列的求和公式等主题。这些知识点是高中数学中重要的基础，值得深入学习和掌握。