乘积为合数的所有子序列的计数

问题描述

给定一个正整数数组，求其中所有乘积为合数的子序列的数量。

解题思路

解决此问题的关键是，如何判断一个序列的乘积是否为合数。回想一下，合数是指除了1和它本身以外，还有其他因子的数。此外，只要序列中存在一个合数，则该序列的乘积就为合数。因此，我们只需要判断子序列中是否存在一个合数，就可以判断该子序列的乘积是否为合数。

接下来我们考虑如何计算所有乘积为合数的子序列的数量。观察到一个序列的子序列数量等于其长度的二次方，我们可以先计算所有子序列的数量，再排除其中乘积为质数的子序列的数量。

由于判断一个数是否为质数的算法比较简单，因此我们可以先用这个算法计算出所有质数，然后对于每个子序列，判断其乘积是否包含质数。如果包含，则将该子序列从计数中排除。

代码实现

我们可以实现一个函数，用于判断一个数是否为质数：

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

然后，我们可以先计算出所有的质数，并用一个集合存储起来：

primes = set()
for i in range(2, 10000):
    if is_prime(i):
        primes.add(i)

接着，我们可以实现一个函数，用于计算一个序列中是否存在质数：

def contains_prime(seq):
    for num in seq:
        if num in primes:
            return True
    return False

最后，我们可以实现全排列算法，对于每个子序列，排除其中包含质数的序列，并对剩下的序列进行计数：

def count_sequences(nums):
    n = len(nums)
    count = 0
    for i in range(1, 2 ** n):
        seq = [nums[j] for j in range(n) if i & (1 << j)]
        if not contains_prime(seq):
            count += 1
    return count

参考资料

• LeetCode Problem #713: Subarray Product Less Than K