具有负积的子序列数

在数据科学和算法设计中, 子序列是指在一个序列中从原始序列中获取的元素集合, 子序列不必按顺序排列, 但是保持了原始序列中的相对顺序.

具有负积的子序列是指子序列中所有元素的乘积小于0 的情况.

问题

给定一个序列，要求计算具有负积的子序列个数。

解决方法

暴力法

暴力法是最直观的方法, 对所有子序列进行计算, 在其中找出具有负积的子序列个数. 这种方法的时间复杂度为$O(n^3)$.

def count_negative_subsequences(arr):
    count = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i+1, len(arr)):
            product = 1
            for k in range(i, j+1):
                product *= arr[k]
            if product < 0:
                count += 1
    return count

动态规划法

动态规划法是通过将问题分成小问题并将它们组合, 以生成最终解决方案.

在这种情况下我们需要找到描述“具有负积的子序列个数”的最优子结构和状态转移方程.

我们定义一个数组 $dp$ 保存至 $i^{th}$ 位置的包含 $i$ 的最大子序列长度. 来计算任意两个位置 $i$ 和 $j$, 我们只需要检查每个位置以确定是否需要更新答案.

即当 $p[i]*p[j]\le0$, 我们才将答案递增.

状态转移方程为:

if A[i] * A[j] < 0:
      dp[j] = max(dp[j], dp[i] + 1)

其中 dp[j] 表示包括$A[j]$的最大子序列长度, dp[i]+1表示设一个数 $B$ 满足 $dp[i]$ 到 $B$ 元素的乘积小于0, $B$ 到 $A[j]$ 元素的乘积小于0, 那么 $[i, j]$ 范围内就存在符合条件的子序列, 可以将 $dp[j]$ 更新为 $dp[i]+1$.

时间复杂度 $O(n^2)$.

def count_negative_subsequences(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1]*n
    count = 0 
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] * arr[j] < 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
                count += dp[j] 
    
    return count

总结

暴力法的时间复杂度较高, 在序列较长时会导致计算时间过长. 动态规划法在时间复杂度和计算时间方面都比暴力法更优秀.

总之，在这里我们学习了这两种常用的解法，并可以针对特定问题选择最优的解决方案。