教资会网络 | UGC NET CS 2018 年 12 月 – II |问题 95

这是一道计算机科学的试题，主要考察对算法设计和分析的理解和能力。

题目

假设有一个长度为n的已排序的整数数组A，若存在一个位置i(0<=i<=n-1),使得A[i]=i，则称i是A的魔术索引。给定已排序的整数数组A，编写一个方法来查找魔术索引。如果不存在魔术索引，则返回-1.如果数组中有多个魔术索引，则返回任意一个。

函数原型为：

def findMagicIndex(A: List[int]) -> int:

思路

一般情况下，可以直接判断数组中每一个数是否与其下标相等，时间复杂度为$O(n)$，但这种方法不能很好地利用输入已排序的条件。

由于数组已排序，可以尝试使用二分查找的思想，判断中间位置的数值是否等于其下标。如果相等则直接返回下标，否则分别递归查找左部分和右部分。这种方法的时间复杂度为$O(logn)$。

代码

from typing import List

def findMagicIndex(A: List[int]) -> int:
    return recurseFind(A, 0, len(A)-1)

def recurseFind(A: List[int], start: int, end: int) -> int:
    if end < start:
        return -1

    mid = (start + end) // 2
    if A[mid] == mid:
        return mid

    left = recurseFind(A, start, min(mid-1, A[mid]))
    if left >= 0:
        return left

    right = recurseFind(A, max(mid+1, A[mid]), end)
    return right

此处使用了辅助函数递归查找，在递归过程中维护数组的左右边界。如果搜寻范围越过边界则可以直接返回-1，否则在左右范围中继续递归查找。