UGC NET CS 2018 年 12 月 – II |问题 6

简介

UGC NET CS 2018 年 12 月 – II 是印度大学委员会（UGC）为计算机科学考生设置的国家级考试。它旨在评估考生在计算机科学中的资格和准备情况。本文将着重介绍问题6。

问题描述

给定一个数组A，它的长度为n，它包含n个整数，其中A[i]为从i到n的最小值。设计一个有效的分治算法，计算出数组A的逆序对个数。

解决方案

这个问题可以通过分治算法来解决。我们可以计算出左半边和右半边中的逆序对数目，并使用一个合并函数来计算中间横跨的逆序对数目。

我们可以通过将数组划分为左右两部分来进行分治，然后递归地在左边和右边分别计算逆序对数量。计算左右两边的逆序对数量时，我们可以利用归并排序的思想，将两个有序的数组合并到一个新的数组中，并在此同时计算逆序对数量。最后，我们将左右两部分计算的逆序对数量相加，并加上中间横跨的逆序对数量。

以下是带有详细注释的Python代码实现。

def count_inversions(arr):
    if len(arr) == 1:
        return arr, 0
 
    mid = len(arr) // 2
    left, inv_left = count_inversions(arr[:mid])  # 递归计算左半边的逆序对
    right, inv_right = count_inversions(arr[mid:])  # 递归计算右半边的逆序对
    result, inv_merge = merge(left, right)  # 合并左右两部分，并计算横跨的逆序对
 
    return result, (inv_left + inv_right + inv_merge)  # 返回总共的逆序对数
 
 
def merge(left, right):
    res = []
    inv = 0
    i, j = 0, 0
 
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            res.append(left[i])
            i += 1
        else:
            res.append(right[j])
            j += 1
            inv += len(left) - i  # 计算逆序对数量
 
    res += left[i:]
    res += right[j:]
 
    return res, inv

结论

本文介绍了如何使用分治算法来计算一个数组中逆序对的数量。 如果您需要解决这个问题，希望在实现时可以参考本文中的代码。如果想要参加 UGC NET CS 2018 年 12 月 – II 计算机科学考试，请务必掌握该算法的实现。