数组范围查询以计算具有更新的斐波那契数的数量

本文将介绍如何使用线段树（Segment Tree）来解决数组范围查询以计算具有更新的斐波那契数的数量的问题。

问题描述

给定一个初始值为0的长度为n的数组a，支持对其进行以下两种操作：

1. 查询区间[l,r]中的小于或等于x的斐波那契数的个数。
2. 将a[i]更新为u。

斐波那契数列定义为：

$F(0) = 0, F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)$

解决方案

线段树

线段树是一种基于分治思想的数据结构，常用于处理范围查询问题。它将原数组按照一定的规则划分成若干个区间，并为每个区间建立一个节点。线段树中每个节点代表了一个区间，而其左右子节点分别代表了区间的左右两半。每个节点还存储了该区间对应的一些信息，如区间和、区间最大值等等。

线段树可以支持区间修改和区间查询，并且时间复杂度都是O(log n)。

斐波那契数列

斐波那契数列有一个重要的性质，即任何一个大于1的斐波那契数都可以通过前面的斐波那契数相加得到。例如：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

其中，3 = 1 + 2，5 = 2 + 3，8 = 3 + 5，以此类推。

因此，我们可以用一个数组f来存储斐波那契数列（不包括0），并通过二分查找找到第一个大于x的数的下标，即为小于或等于x的斐波那契数的个数。

解决方案

首先，我们需要一个函数fibonacci(x)，该函数用于返回小于或等于x的最大斐波那契数的下标。由于f中存储的斐波那契数列不包括0，因此我们需要在fibonacci(x)函数中加入一些特判。

def fibonacci(x):
    if x == 0:
        return -1
    if x == 1:
        return 0
    lo = 2
    hi = len(f)
    while lo < hi:
        mid = (lo + hi) // 2
        if f[mid] <= x:
            lo = mid + 1
        else:
            hi = mid
    return lo - 2

然后，我们可以使用线段树来实现数组范围查询以计算具有更新的斐波那契数的数量。对于每个节点，我们记录以下几个值：

1. l和r，代表该节点对应的区间；
2. fibcnt，代表该区间小于或等于x的斐波那契数的个数；
3. lazy，代表该区间的懒标记。

lazy用于标记该区间是否需要进行更新。若该区间的lazy值为非空，则代表该区间需要更新，更新值为lazy。

维护lazy的方法，是在节点被访问时，如果该节点的lazy值不为空，则将该节点的值更新，并将lazy值传递给左右子节点。这样，在修改某个区间时，只需要将该区间的lazy标记打上即可。

由于我们需要查询小于或等于x的斐波那契数的个数，因此我们需要在答案中加入小于左区间右端点的斐波那契数的个数，并从右区间左端点开始向前加入所有小于x的斐波那契数的个数。这样，我们就得到了左右两个区间小于或等于x的斐波那契数的个数。

对于一个节点，我们需要在以下情况下更新fibcnt的值：

1. 节点区间完全在我们要查询的区间[l,r]的内部；
2. 节点区间与我们要查询的区间[l,r]有部分重合，并且该节点的斐波那契数最大的值小于或等于x。

为了方便操作，我们采用了左闭右闭区间进行处理。

最终，我们得到的代码如下：

f = [1,1] + [0] * 100000

def init():
    for i in range(2, len(f)):
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]

def fibonacci(x):
    if x == 0:
        return -1
    if x == 1:
        return 0
    lo = 2
    hi = len(f)
    while lo < hi:
        mid = (lo + hi) // 2
        if f[mid] <= x:
            lo = mid + 1
        else:
            hi = mid
    return lo - 2

class SegmentTree:
    def __init__(self, l, r):
        self.l = l
        self.r = r
        self.fibcnt = 0
        self.lazy = None
        if l == r:
            return
        mid = (l + r) // 2
        self.left = SegmentTree(l, mid)
        self.right = SegmentTree(mid + 1, r)

    def pushdown(self):
        if self.lazy is None:
            return
        self.left.update(self.lazy)
        self.right.update(self.lazy)
        self.lazy = None

    def query(self, l, r, x):
        if self.l == l and self.r == r:
            return self.fibcnt
        mid = (self.l + self.r) // 2
        self.pushdown()
        if l > mid:
            return self.right.query(l, r, x)
        elif r <= mid:
            return self.left.query(l, r, x)
        else:
            return self.left.query(l, mid, x) + self.right.query(mid + 1, r, x - self.left.r) + fibonacci(min(self.right.l - 1, x)) - fibonacci(min(self.left.r - 1, x))

    def update(self, val):
        self.fibcnt = fibonacci(val)
        if self.l == self.r:
            return
        self.lazy = val

        self.pushdown()
        self.left.update(val)
        self.right.update(val)

n = int(input())
a = [0] * n
init()
tree = SegmentTree(0, n - 1)

for i in range(int(input())):
    op = input().split()
    if op[0] == "q":
        print(tree.query(int(op[1]) - 1, int(op[2]) - 1, int(op[3])))
    else:
        tree.update(int(op[1]) - 1, int(op[2]))

上述代码中，init()函数用于初始化斐波那契数列，fibonacci(x)函数用于查询小于或等于x的最大斐波那契数的下标，SegmentTree类用于维护线段树，query(l,r,x)函数用于查询区间[l,r]中的小于或等于x的斐波那契数的个数，update(i,u)函数用于将a[i]更新为u。

以上就是本文的全部内容。